1. 線分$AB$がx軸に平行な場合
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このとき線分$AB$の長さは線分の両端の2点$A,B$それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので$|b_1-a_1|$となります。
線分$AM,BM$の長さはともに
\[AM=BM=\frac{1}{2}|b_1-a_1|\]
と表すことができます。
\[AM=BM=\frac{1}{2}|b_1-a_1|\]
と表すことができます。
$a_1<b_1$のとき
$a_1<b_1$のとき、点$A,B$の位置関係は上図と同様であり、線分$AB$の長さは$|b_1-a_1|=b_1-a_1$と表されます。
点$M$は点$A$からx軸方向に線分$AM$の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点$M$のx座標は
\begin{align*}m_1&=a_1+\frac{1}{2}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=a_1+\frac{1}{2}(b_1-a_1)\\[0.5em]&=\frac{2a_1+(b_1-a_1)}{2}\\[0.5em]&=\frac{a_1+b_1}{2}\end{align*}
すなわち、点$M$の座標は
\[(m_1,m_2)=\left(\frac{a_1+b_1}{2},y\right)\]
と表すことができます。
$a_1>b_1$のとき
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点$M$は点$B$からx軸方向に線分$BM$の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点$M$のx座標は
\begin{align*}m_1&=b_1+\frac{1}{2}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=b_1+\frac{1}{2}(a_1-b_1)\\[0.5em]&=\frac{2b_1+(a_1-b_1)}{2}\\[0.5em]&=\frac{a_1+b_1}{2}\end{align*}
すなわち、点$M$の座標は
\[(m_1,m_2)=\left(\frac{a_1+b_1}{2},y\right)\]
と表すことができます。
以上より、点$A,B$のx座標の大小関係がどのようであっても線分$AB$の中点$M$の座標は
\[\large (m_1,m_2)=\left(\frac{a_1+b_1}{2},y\right)\]
となることがわかります。
2. 線分$AB$がy軸に平行な場合
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このとき線分$AB$の長さは2点$A,B$それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので$|b_2-a_2|$となります。
線分$AM,BM$の長さはともに
\[BM=\frac{1}{2}|b_2-a_2|\]
と表すことができます。
$a_2<b_2$のとき
$a_2<b_2$のとき、点$A,B$の位置関係は上図と同様であり、線分$AB$の長さは$|b_2-a_2|=b_2-a_2$と表されます。
点$M$は点$A$からy軸方向に線分$AM$の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点$M$のy座標は
\begin{align*}m_2&=a_2+\frac{1}{2}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=a_2+\frac{1}{2}(b_2-a_2)\\[0.5em]&=\frac{2a_2+(b_2-a_2)}{2}\\[0.5em]&=\frac{a_2+b_2}{2}\end{align*}
すなわち、点$M$の座標は
\[(m_1,m_2)=\left(x,\frac{a_2+b_2}{2}\right)\]
と表すことができます。
$a_2>b_2$のとき
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点$M$は点$B$からy軸方向に線分$BM$の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点$M$のy座標は
\begin{align*}m_2&=b_2+\frac{1}{2}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=b_2+\frac{1}{2}(a_2-b_2)\\[0.5em]&=\frac{2b_2+(a_2-b_2)}{2}\\[0.5em]&=\frac{a_2+b_2}{2}\end{align*}
すなわち、点$M$の座標は
\[(m_1,m_2)=\left(x,\frac{a_2+b_2}{2}\right)\]
と表すことができます。
以上より、点$A,B$のy座標の大小関係がどのようであっても線分$AB$の中点$M$の座標は
\[\large (m_1,m_2)=\left(x,\frac{a_2+b_2}{2}\right)\]
となることがわかります。
3. 線分$AB$がx軸にもy軸にも平行でない場合
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また、点$M$を通るy軸に平行な直線$x=m_1$と$AC$との交点を$P$、点$M$を通るx軸に平行な直線$y=m_2$と$BC$との交点を$Q$とします。点$P$は点$M$と等しいx座標、点$Q$は点$M$と等しいy座標をもちます。
ここで$△AMP$と$△MBQ$に着目すると
点$M$は線分$AB$の中点なので$AM=MB$
$MP//BQ$より同位角は等しいので$∠AMP=∠MBQ$
$AP//MQ$より同位角は等しいので$∠MAP=∠BMQ$
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので$△AMP$と$△MBQ$は合同であることがわかります。
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\[AP=CP,BQ=CQ \tag{*}\]
が成り立つことがわかります。
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$(*)$が成り立つということは点$P$は線分$AC$の中点、点$Q$は線分$BC$の中点であるということです。
すると点$P$のx座標と点$Q$のy座標を求めることができれば点$M$の座標がわかります。
線分$AC$はx軸に平行な線分でその長さは$|b_1-a_1|$です。
したがって、$1.$より点$P$のx座標$m_1$は
\[m_1=\frac{a_1+b_1}{2}\]
と求められます。
線分$BC$はy軸に平行な線分でその長さは$|b_2-a_2|$です。
したがって、$2.$より点$Q$のy座標$m_2$は
\[m_2=\frac{a_2+b_2}{2}\]
と求められます。
以上より点$M$の座標は
\begin{equation}(m_1,m_2)=\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2}\right)\end{equation}
と表されることがわかります。
ここで$(1)$のy座標に$b_2=a_2$を代入すると
\begin{align*}m_2&=\frac{a_2+a_2}{2}\\[0.5em]&=\frac{2a_2}{2}\\[0.5em]&=a_2\end{align*}
すなわち$a_2=b_2=m_2$が成り立って点$M$の座標が$\left(\frac{a_1+b_1}{2},a_2\right)$となり、$1.$の場合の点$M$の座標と一致します。
また、$(1)$のx座標に$b_1=a_1$を代入すると
\begin{align*}m_1\frac{a_1+a_1}{2}\\[0.5em]&=\frac{2a_1}{2}\\[0.5em]&=a_1\end{align*}
すなわち$a_1=b_1=m_1$が成り立って点$M$の座標が$\left(a_1,\frac{a_2+b_2}{2}\right)$となり、$2.$の場合の点$M$の座標と一致します。
以上より線分$AB$がどのような位置にあっても中点$M$の座標は
\[\require{color}\large
\color{red}M\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2}\right)\]
と表せることがわかります。
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