座標平面上の線分の中点の座標を求める ~ 数学について考えてみる

　座標平面の2点

A (a_{1}, a_{2}), B (b_{1}, b_{2})

$\text{A}(a_1, a_2), \text{B}(b_1, b_2)$ を結ぶ線分

AB

$\text{AB}$ の中点

M (m_{1}, m_{2})

$\text{M}(m_1, m_2)$ の

m_{1}, m_{2}

$m_1, m_2$ はそれぞれ

a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}

$a_1, a_2, b_1, b_2$ をもちいてどのように表されるでしょうか？

1. 線分 $\text{AB}$ がx軸に平行な場合

　線分

AB

$\text{AB}$ がy軸に平行な場合、3点

A, B, M

$\text{A, B, M}$ のy座標は等しくなります。すなわち、

a_{2} = b_{2} = m_{2}

$a_2=b_2=m_2$ の場合です。ここではこれらのy座標を

y

$y$ とおきます。
このとき線分

AB

$\text{AB}$ の長さは線分の両端の2点

A, B

$\text{A, B}$ それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので

| b_{1} - a_{1} |

$|b_1-a_1|$ となります。

線分

AM, BM

$\text{AM, BM}$ の長さはともに

AM = BM = \frac{1}{2} | b_{1} - a_{1} |

$\text{AM}=\text{BM}=\frac{1}{2}|b_1-a_1|$

と表すことができます。

$a_1<b_1$ のとき

a_{1} < b_{1}

$a_1<b_1$ のとき、点

A, B

$\text{A, B}$ の位置関係は上図と同様であり、線分

AB

$\text{AB}$ の長さは

| b_{1} - a_{1} | = b_{1} - a_{1}

$|b_1-a_1|=b_1-a_1$ と表されます。

点

M

$\text{M}$ は点

A

$\text{A}$ からx軸方向に線分

AM

$\text{AM}$ の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点

M

$\text{M}$ のx座標は

\begin{aligned} m_{1} & = a_{1} + \frac{1}{2} | b_{1} - a_{1} | \\ = a_{1} + \frac{1}{2} (b_{1} - a_{1}) \\ = \frac{2 a_{1} + (b_{1} - a_{1})}{2} \\ = \frac{a_{1} + b_{1}}{2} \end{aligned}

$\begin{align*}m_1&=a_1+\frac{1}{2}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=a_1+\frac{1}{2}(b_1-a_1)\\[0.5em]&=\frac{2a_1+(b_1-a_1)}{2}\\[0.5em]&=\frac{a_1+b_1}{2}\end{align*}$

すなわち、点

M

$\text{M}$ の座標は

(m_{1}, m_{2}) = (\frac{a_{1} + b_{1}}{2}, y)

$(m_1, m_2)=\left(\frac{a_1+b_1}{2}, y\right)$

と表すことができます。

$a_1>b_1$ のとき

a_{1} > b_{1}

$a_1>b_1$ のとき、点

A, B

$\text{A, B}$ の位置関係は上図のようになり、線分

AB

$\text{AB}$ の長さは

| b_{1} - a_{1} | = a_{1} - b_{1}

$|b_1-a_1|=a_1-b_1$ と表されます。
点

M

$\text{M}$ は点

B

$\text{B}$ からx軸方向に線分

BM

$\text{BM}$ の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点

M

$\text{M}$ のx座標は

\begin{aligned} m_{1} & = b_{1} + \frac{1}{2} | b_{1} - a_{1} | \\ = b_{1} + \frac{1}{2} (a_{1} - b_{1}) \\ = \frac{2 b_{1} + (a_{1} - b_{1})}{2} \\ = \frac{a_{1} + b_{1}}{2} \end{aligned}

$\begin{align*}m_1&=b_1+\frac{1}{2}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=b_1+\frac{1}{2}(a_1-b_1)\\[0.5em]&=\frac{2b_1+(a_1-b_1)}{2}\\[0.5em]&=\frac{a_1+b_1}{2}\end{align*}$

すなわち、点

M

$\text{M}$ の座標は

(m_{1}, m_{2}) = (\frac{a_{1} + b_{1}}{2}, y)

$(m_1, m_2)=\left(\frac{a_1+b_1}{2}, y\right)$

と表すことができます。

　以上より、点

A, B

$\text{A, B}$ のx座標の大小関係がどのようであっても線分

AB

$\text{AB}$ の中点

M

$\text{M}$ の座標は

(m_{1}, m_{2}) = (\frac{a_{1} + b_{1}}{2}, y)

$\large (m_1, m_2)=\left(\frac{a_1+b_1}{2}, y\right)$

となることがわかります。

2. 線分 $\text{AB}$ がy軸に平行な場合

　線分

AB

$\text{AB}$ がy軸に平行な場合、3点

A, B, M

$\text{A, B, M}$ のx座標は等しくなります。すなわち、

a_{1} = b_{1} = m_{1}

$a_1=b_1=m_1$ の場合です。ここではx座標を

x

$x$ とおきます。
このとき線分

AB

$\text{AB}$ の長さは2点

A, B

$\text{A, B}$ それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので

| b_{2} - a_{2} |

$|b_2-a_2|$ となります。

線分

AM, BM

$\text{AM, BM}$ の長さはともに

BM = \frac{1}{2} | b_{2} - a_{2} |

$\text{BM}=\frac{1}{2}|b_2-a_2|$

と表すことができます。

$a_2<b_2$ のとき

a_{2} < b_{2}

$a_2<b_2$ のとき、点

A, B

$\text{A, B}$ の位置関係は上図と同様であり、線分

AB

$\text{AB}$ の長さは

| b_{2} - a_{2} | = b_{2} - a_{2}

$|b_2-a_2|=b_2-a_2$ と表されます。
点

M

$\text{M}$ は点

A

$\text{A}$ からy軸方向に線分

AM

$\text{AM}$ の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点

M

$\text{M}$ のy座標は

\begin{aligned} m_{2} & = a_{2} + \frac{1}{2} | b_{2} - a_{2} | \\ = a_{2} + \frac{1}{2} (b_{2} - a_{2}) \\ = \frac{2 a_{2} + (b_{2} - a_{2})}{2} \\ = \frac{a_{2} + b_{2}}{2} \end{aligned}

$\begin{align*}m_2&=a_2+\frac{1}{2}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=a_2+\frac{1}{2}(b_2-a_2)\\[0.5em]&=\frac{2a_2+(b_2-a_2)}{2}\\[0.5em]&=\frac{a_2+b_2}{2}\end{align*}$

すなわち、点

M

$\text{M}$ の座標は

(m_{1}, m_{2}) = (x, \frac{a_{2} + b_{2}}{2})

$(m_1, m_2)=\left(x, \frac{a_2+b_2}{2}\right)$

と表すことができます。

$a_2>b_2$ のとき

a_{2} > b_{2}

$a_2>b_2$ のとき、点

A, B

$\text{A, B}$ の位置関係は上図のようになり、線分

AB

$\text{AB}$ の長さは

| b_{2} - a_{2} | = a_{2} - b_{2}

$|b_2-a_2|=a_2-b_2$ と表されます。
点

M

$\text{M}$ は点

B

$\text{B}$ からy軸方向に線分

BM

$\text{BM}$ の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点

M

$\text{M}$ のy座標は

\begin{aligned} m_{2} & = b_{2} + \frac{1}{2} | b_{2} - a_{2} | \\ = b_{2} + \frac{1}{2} (a_{2} - b_{2}) \\ = \frac{2 b_{2} + (a_{2} - b_{2})}{2} \\ = \frac{a_{2} + b_{2}}{2} \end{aligned}

$\begin{align*}m_2&=b_2+\frac{1}{2}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=b_2+\frac{1}{2}(a_2-b_2)\\[0.5em]&=\frac{2b_2+(a_2-b_2)}{2}\\[0.5em]&=\frac{a_2+b_2}{2}\end{align*}$

すなわち、点

M

$\text{M}$ の座標は

(m_{1}, m_{2}) = (x, \frac{a_{2} + b_{2}}{2})

$(m_1, m_2)=\left(x, \frac{a_2+b_2}{2}\right)$

と表すことができます。

　以上より、点

A, B

$\text{A, B}$ のy座標の大小関係がどのようであっても線分

AB

$\text{AB}$ の中点

M

$\text{M}$ の座標は

(m_{1}, m_{2}) = (x, \frac{a_{2} + b_{2}}{2})

$\large (m_1, m_2)=\left(x, \frac{a_2+b_2}{2}\right)$

となることがわかります。

3. 線分 $\text{AB}$ がx軸にもy軸にも平行でない場合

　線分

AB

$\text{AB}$ がx軸にもy軸にも平行でない場合、すなわち

a_{1} \neq b_{1}

$a_1\neq b_1$ かつ

a_{2} \neq b_{2}

$a_2\neq b_2$ のときのことであり上図のようになります。（ただし、上図は

a_{1} < b_{1}

$a_1<b_1$ かつ

a_{2} < b_{2}

$a_2<b_2$ の場合）

点

A

$\text{A}$ を通るx軸に平行な直線

y = a_{2}

$y=a_2$ と点

B

$\text{B}$ を通るy軸に平行な直線

x = b_{1}

$x=b_1$ を引き、その交点を

C

$\text{C}$ とします。点

C

$\text{C}$ は点

A

$\text{A}$ と等しいy座標、点

B

$\text{B}$ と等しいx座標をもちます。

また、点

M

$\text{M}$ を通るy軸に平行な直線

x = m_{1}

$x=m_1$ と

AC

$\text{AC}$ との交点を

P

$\text{P}$ 、点

M

$\text{M}$ を通るx軸に平行な直線

y = m_{2}

$y=m_2$ と

BC

$\text{BC}$ との交点を

Q

$\text{Q}$ とします。点

P

$\text{P}$ は点

M

$\text{M}$ と等しいx座標、点

Q

$\text{Q}$ は点

M

$\text{M}$ と等しいy座標をもちます。

ここで

△ AMP

$△\text{AMP}$ と

△ MBQ

$△\text{MBQ}$ に着目すると

点 $\text{M}$ は線分 $\text{AB}$ の中点なので $\text{AM}=\text{MB}$
$\text{MP}//\text{BQ}$ より同位角は等しいので $∠\text{AMP}=∠\text{MBQ}$
$\text{AP}//\text{MQ}$ より同位角は等しいので $∠\text{MAP}=∠\text{BMQ}$

1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので

△ AMP

$△\text{AMP}$ と

△ MBQ

$△\text{MBQ}$ は合同であることがわかります。

このことから

AP = MQ, MP = BQ

$\text{AP}=\text{MQ, MP}=\text{BQ}$ が成り立ち、四角形

MPCQ

$\text{MPCQ}$ は長方形なので

MP = CQ, MQ = CP

$\text{MP}=\text{CQ, MQ}=\text{CP}$ より

\begin{matrix} (*) & AP = CP, BQ = CQ \end{matrix}

$\text{AP}=\text{CP, BQ}=\text{CQ} \tag{*}$

が成り立つことがわかります。

これは

a_{1}, b_{1}

$a_1, b_1$ と

a_{2}, b_{2}

$a_2, b_2$ の大小関係に関わらず成り立ちます。

(*)

$(*)$ が成り立つということは点

P

$\text{P}$ は線分

AC

$\text{AC}$ の中点、点

Q

$\text{Q}$ は線分

BC

$\text{BC}$ の中点であるということです。

すると点

P

$\text{P}$ のx座標と点

Q

$\text{Q}$ のy座標を求めることができれば点

M

$\text{M}$ の座標がわかります。

線分

AC

$\text{AC}$ はx軸に平行な線分でその長さは

| b_{1} - a_{1} |

$|b_1-a_1|$ です。
したがって、

1.

$1.$ より点

P

$\text{P}$ のx座標

m_{1}

$m_1$ は

m_{1} = \frac{a_{1} + b_{1}}{2}

$m_1=\frac{a_1+b_1}{2}$

と求められます。

線分

BC

$\text{BC}$ はy軸に平行な線分でその長さは

| b_{2} - a_{2} |

$|b_2-a_2|$ です。
したがって、

2.

$2.$ より点

Q

$\text{Q}$ のy座標

m_{2}

$m_2$ は

m_{2} = \frac{a_{2} + b_{2}}{2}

$m_2=\frac{a_2+b_2}{2}$

と求められます。

以上より点

M

$\text{M}$ の座標は

\begin{matrix} (1) & (m_{1}, m_{2}) = (\frac{a_{1} + b_{1}}{2}, \frac{a_{2} + b_{2}}{2}) \end{matrix}

$\begin{equation}(m_1, m_2)=\left(\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}\right)\end{equation}$

と表されることがわかります。

　ここで

(1)

$(1)$ のy座標に

b_{2} = a_{2}

$b_2=a_2$ を代入すると

\begin{aligned} m_{2} & = \frac{a_{2} + a_{2}}{2} \\ = \frac{2 a_{2}}{2} \\ = a_{2} \end{aligned}

$\begin{align*}m_2&=\frac{a_2+a_2}{2}\\[0.5em]&=\frac{2a_2}{2}\\[0.5em]&=a_2\end{align*}$

すなわち

a_{2} = b_{2} = m_{2}

$a_2=b_2=m_2$ が成り立って点

M

$\text{M}$ の座標が

(\frac{a_{1} + b_{1}}{2}, a_{2})

$\left(\frac{a_1+b_1}{2}, a_2\right)$ となり、

1.

$1.$ の場合の点

M

$\text{M}$ の座標と一致します。

また、

(1)

$(1)$ のx座標に

b_{1} = a_{1}

$b_1=a_1$ を代入すると

\begin{aligned} m_{1} \frac{a_{1} + a_{1}}{2} \\ = \frac{2 a_{1}}{2} \\ = a_{1} \end{aligned}

$\begin{align*}m_1\frac{a_1+a_1}{2}\\[0.5em]&=\frac{2a_1}{2}\\[0.5em]&=a_1\end{align*}$

すなわち

a_{1} = b_{1} = m_{1}

$a_1=b_1=m_1$ が成り立って点

M

$\text{M}$ の座標が

(a_{1}, \frac{a_{2} + b_{2}}{2})

$\left(a_1, \frac{a_2+b_2}{2}\right)$ となり、

2.

$2.$ の場合の点

M

$\text{M}$ の座標と一致します。

以上より線分

AB

$\text{AB}$ がどのような位置にあっても中点

M

$\text{M}$ の座標は

M (\frac{a_{1} + b_{1}}{2}, \frac{a_{2} + b_{2}}{2})

$\large \color{red}\text{M}\left(\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}\right)$

と表せることがわかります。

数学について考えてみる

2024年1月10日