1. 線分$AB$がx軸に平行な場合
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このとき線分$AB$の長さは線分の両端の2点$A,B$それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので$|b_1-a_1|$となります。
線分$AP$の長さは
\[AP=\frac{m}{m+n}|b_1-a_1|\]
線分$BP$の長さは
\[BP=\frac{n}{m+n}|b_1-a_1|\]
と表すことができます。
\[AP=\frac{m}{m+n}|b_1-a_1|\]
線分$BP$の長さは
\[BP=\frac{n}{m+n}|b_1-a_1|\]
と表すことができます。
$a_1<b_1$のとき
$a_1<b_1$のとき、点$A,B$の位置関係は上図と同様であり、線分$AB$の長さは$|b_1-a_1|=b_1-a_1$と表されます。
点$P$は点$A$からx軸方向に線分$AP$の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点$P$のx座標は
\begin{align*}p_1&=a_1+\frac{m}{m+n}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=a_1+\frac{m}{m+n}(b_1-a_1)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_1+m(b_1-a_1)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_1+na_1}{m+n}\end{align*}
すなわち、点$P$の座標は
\[(p_1,p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n},y\right)\]
と表すことができます。
$a_1>b_1$のとき
点$P$は点$B$からx軸方向に線分$BP$の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点$P$のx座標は
\begin{align*}p_1&=b_1+\frac{n}{m+n}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=b_1+\frac{n}{m+n}(a_1-b_1)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)b_1+n(a_1-b_1)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_1+na_1}{m+n}\end{align*}
すなわち、点$P$の座標は
\[(p_1,p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n},y\right)\]
と表すことができます。
以上より、点$A,B$のx座標の大小関係がどのようであってもx軸に平行な線分$AB$を$m:n$に内分する点$P$の座標は
\[\large (p_1,p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n},y\right)\]
となることがわかります。
2. 線分$AB$がy軸に平行な場合
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このとき線分$AB$の長さは2点$A,B$それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので$|b_2-a_2|$となります。
線分$AP$の長さは
\[AP=\frac{m}{m+n}|b_2-a_2|\]
線分$BP$の長さは
\[BP=\frac{n}{m+n}|b_2-a_2|\]
と表すことができます。
$a_2<b_2$のとき
$a_2<b_2$のとき、点$A,B$の位置関係は上図と同様であり、線分$AB$の長さは$|b_2-a_2|=b_2-a_2$と表されます。
点$P$は点$A$からy軸方向に線分$AP$の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点$P$のy座標は
\begin{align*}p_2&=a_2+\frac{m}{m+n}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=a_2+\frac{m}{m+n}(b_2-a_2)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_2+m(b_2-a_2)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_2+na_2}{m+n}\end{align*}
すなわち、点$P$の座標は
\[(p_1,p_2)=\left(x,\frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)\]
と表すことができます。
$a_2>b_2$のとき
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点$P$は点$B$からy軸方向に線分$BP$の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点$P$のy座標は
\begin{align*}p_2&=b_2+\frac{n}{m+n}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=b_2+\frac{n}{m+n}(a_2-b_2)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)b_2+n(a_2-b_2)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_2+na_2}{m+n}\end{align*}
すなわち、点$P$の座標は
\[(p_1,p_2)=\left(x,\frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)\]
と表すことができます。
以上より、点$A,B$のy座標の大小関係がどのようであってもy軸に平行な線分$AB$を$m:n$に内分する点$P$の座標は
\[\large (p_1,p_2)=\left(x,\frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)\]
となることがわかります。
3. 線分$AB$がx軸にもy軸にも平行でない場合
また、点$P$を通るy軸に平行な直線$x=p_1$と$AC$との交点を$Q$、点$P$を通るx軸に平行な直線$y=p_2$と$BC$との交点を$R$とします。点$Q$は点$P$と等しいx座標、点$R$は点$P$と等しいy座標をもちます。
ここで$△APQ$と$△PBR$に着目すると
$PQ//BR$より同位角は等しいので$∠APQ=∠PBR$
x軸とy軸は垂直で、それぞれに平行な直線同士も垂直となるから$∠AQP=∠PRB=90°$
2組の角がそれぞれ等しいので$△APQ$と$△PBR$は相似であることがわかります。
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\[AQ:CQ=CR:BR=m:n \tag{*}\]
が成り立つことがわかります。
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$(*)$が成り立つということは点$Q$は線分$AC$を$m:n$に内分する点、点$R$は線分$BC$を$m:n$に内分する点であるということです。
すると点$Q$のx座標と点$R$のy座標を求めることができれば点$P$の座標がわかります。
線分$AC$はx軸に平行な線分でその長さは$|b_1-a_1|$です。
したがって、$1.$より点$Q$のx座標$p_1$は
\[p_1=\frac{mb_1+na_1}{m+n}\]
と求められます。
線分$BC$はy軸に平行な線分でその長さは$|b_2-a_2|$です。
したがって、$2.$より点$R$のy座標$p_2$は
\[p_2=\frac{mb_2+na_2}{m+n}\]
と求められます。
以上より点$P$の座標は
\begin{equation}(p_1,p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n},\frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)\end{equation}
と表されることがわかります。
ここで$(1)$のy座標に$b_2=a_2$を代入すると
\begin{align*}p_2&=\frac{ma_2+na_2}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_2}{m+n}\\[0.5em]&=a_2\end{align*}
すなわち$a_2=b_2=p_2$が成り立って点$P$の座標が$\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n},a_2\right)$となり、$1.$の場合の点$P$の座標と一致します。
また、$(1)$のx座標に$b_1=a_1$を代入すると
\begin{align*}p_1\frac{ma_1+na_1}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_1}{m+n}\\[0.5em]&=a_1\end{align*}
すなわち$a_1=b_1=p_1$が成り立って点$P$の座標が$\left(a_1,\frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)$となり、$2.$の場合の点$P$の座標と一致します。
以上より線分$AB$がどのような位置にあっても$m:n$に内分する点$P$の座標は
\[\require{color}\large\color{red}P\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n},\frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)\]
と表せることがわかります。
さらに$m=n$のとき点$P$の座標は
\begin{align*}\left(\frac{mb_1+ma_1}{m+m},\frac{mb_2+ma_2}{m+m}\right)&=\left(\frac{m(a_1+b_1)}{2m},\frac{m(a_2+b_2)}{2m}\right)\\[0.5em]&=\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2}\right)\end{align*}
となり、中点の座標と一致します。
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