座標平面上の分点の座標 ①内分点の座標 ~ 数学について考えてみる

　座標平面の2点

A (a_{1}, a_{2}), B (b_{1}, b_{2})

$\text{A}(a_1, a_2), \text{B}(b_1, b_2)$ を結ぶ線分

AB

$\text{AB}$ を

m : n

$m:n$ に内分する点

P (p_{1}, p_{2})

$\text{P}(p_1, p_2)$ の

p_{1}, p_{2}

$p_1, p_2$ はそれぞれ

a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}

$a_1, a_2, b_1, b_2$ をもちいてどのように表されるでしょうか？

1. 線分 $\text{AB}$ がx軸に平行な場合

　線分

AB

$\text{AB}$ がy軸に平行な場合、3点

A, B, P

$\text{A, B, P}$ のy座標は等しくなります。すなわち、

a_{2} = b_{2} = p_{2}

$a_2=b_2=p_2$ の場合です。ここではy座標を

y

$y$ とおきます。
このとき線分

AB

$\text{AB}$ の長さは線分の両端の2点

A, B

$\text{A, B}$ それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので

| b_{1} - a_{1} |

$|b_1-a_1|$ となります。

すると、線分

AP

$\text{AP}$ の長さは

AP = \frac{m}{m + n} | b_{1} - a_{1} |

$\text{AP}=\frac{m}{m+n}|b_1-a_1|$

線分

BP

$\text{BP}$ の長さは

BP = \frac{n}{m + n} | b_{1} - a_{1} |

$\text{BP}=\frac{n}{m+n}|b_1-a_1|$

と表すことができます。

$a_1<b_1$ のとき

a_{1} < b_{1}

$a_1<b_1$ のとき、点

A, B

$\text{A, B}$ の位置関係は上図と同様であり、線分

AB

$\text{AB}$ の長さは

| b_{1} - a_{1} | = b_{1} - a_{1}

$|b_1-a_1|=b_1-a_1$ と表されます。

点

P

$\text{P}$ は点

A

$\text{A}$ からx軸方向に線分

AP

$\text{AP}$ の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点

P

$\text{P}$ のx座標は

\begin{matrix} p_{1} & = a_{1} + \frac{m}{m + n} | b_{1} - a_{1} | = a_{1} + \frac{m}{m + n} (b_{1} - a_{1}) = \frac{(m + n) a_{1} + m (b_{1} - a_{1})}{m + n} = \frac{m b_{1} + n a_{1}}{m + n} \end{matrix}

$\begin{align*}p_1&=a_1+\frac{m}{m+n}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=a_1+\frac{m}{m+n}(b_1-a_1)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_1+m(b_1-a_1)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_1+na_1}{m+n}\end{align*}$

すなわち、点

P

$\text{P}$ の座標は

(p_{1}, p_{2}) = (\frac{m b_{1} + n a_{1}}{m + n}, y)

$(p_1, p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, y\right)$

と表すことができます。

$a_1>b_1$ のとき

a_{1} > b_{1}

$a_1>b_1$ のとき、点

A, B

$\text{A, B}$ の位置関係は上図のようになり、線分

AB

$\text{AB}$ の長さは

| b_{1} - a_{1} | = a_{1} - b_{1}

$|b_1-a_1|=a_1-b_1$ と表されます。
点

P

$\text{P}$ は点

B

$\text{B}$ からx軸方向に線分

BP

$\text{BP}$ の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点

P

$\text{P}$ のx座標は

\begin{matrix} p_{1} & = b_{1} + \frac{n}{m + n} | b_{1} - a_{1} | = b_{1} + \frac{n}{m + n} (a_{1} - b_{1}) = \frac{(m + n) b_{1} + n (a_{1} - b_{1})}{m + n} = \frac{m b_{1} + n a_{1}}{m + n} \end{matrix}

$\begin{align*}p_1&=b_1+\frac{n}{m+n}|b_1-a_1|\\[0.5em]&=b_1+\frac{n}{m+n}(a_1-b_1)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)b_1+n(a_1-b_1)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_1+na_1}{m+n}\end{align*}$

すなわち、点

P

$\text{P}$ の座標は

(p_{1}, p_{2}) = (\frac{m b_{1} + n a_{1}}{m + n}, y)

$(p_1, p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, y\right)$

と表すことができます。

　以上より、点

A, B

$\text{A, B}$ のx座標の大小関係がどのようであってもx軸に平行な線分

AB

$\text{AB}$ を

m : n

$m:n$ に内分する点

P

$\text{P}$ の座標は

(p_{1}, p_{2}) = (\frac{m b_{1} + n a_{1}}{m + n}, y)

$\large (p_1, p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, y\right)$

となることがわかります。

2. 線分 $\text{AB}$ がy軸に平行な場合

　線分

AB

$\text{AB}$ がy軸に平行な場合、3点

A, B, P

$\text{A, B, P}$ のx座標は等しくなります。すなわち、

a_{1} = b_{1} = p_{1}

$a_1=b_1=p_1$ の場合です。ここではx座標を

x

$x$ とおきます。
このとき線分

AB

$\text{AB}$ の長さは2点

A, B

$\text{A, B}$ それぞれのy座標の差分の絶対値で求められるので

| b_{2} - a_{2} |

$|b_2-a_2|$ となります。

線分

AP

$\text{AP}$ の長さは

AP = \frac{m}{m + n} | b_{2} - a_{2} |

$\text{AP}=\frac{m}{m+n}|b_2-a_2|$

線分

BP

$\text{BP}$ の長さは

BP = \frac{n}{m + n} | b_{2} - a_{2} |

$\text{BP}=\frac{n}{m+n}|b_2-a_2|$

と表すことができます。

$a_2<b_2$ のとき

a_{2} < b_{2}

$a_2<b_2$ のとき、点

A, B

$\text{A, B}$ の位置関係は上図と同様であり、線分

AB

$\text{AB}$ の長さは

| b_{2} - a_{2} | = b_{2} - a_{2}

$|b_2-a_2|=b_2-a_2$ と表されます。

点

P

$\text{P}$ は点

A

$\text{A}$ からy軸方向に線分

AP

$\text{AP}$ の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点

P

$\text{P}$ のy座標は

\begin{matrix} p_{2} & = a_{2} + \frac{m}{m + n} | b_{2} - a_{2} | = a_{2} + \frac{m}{m + n} (b_{2} - a_{2}) = \frac{(m + n) a_{2} + m (b_{2} - a_{2})}{m + n} = \frac{m b_{2} + n a_{2}}{m + n} \end{matrix}

$\begin{align*}p_2&=a_2+\frac{m}{m+n}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=a_2+\frac{m}{m+n}(b_2-a_2)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_2+m(b_2-a_2)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_2+na_2}{m+n}\end{align*}$

すなわち、点

P

$\text{P}$ の座標は

(p_{1}, p_{2}) = (x, \frac{m b_{2} + n a_{2}}{m + n})

$(p_1, p_2)=\left(x, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)$

と表すことができます。

$a_2>b_2$ のとき

a_{2} > b_{2}

$a_2>b_2$ のとき、点

A, B

$\text{A, B}$ の位置関係は上図のようになり、線分

AB

$\text{AB}$ の長さは

| b_{2} - a_{2} | = a_{2} - b_{2}

$|b_2-a_2|=a_2-b_2$ と表されます。

点

P

$\text{P}$ は点

B

$\text{B}$ からy軸方向に線分

BP

$\text{BP}$ の長さの分だけ平行移動した先にあるため、点

P

$\text{P}$ のy座標は

\begin{matrix} p_{2} & = b_{2} + \frac{n}{m + n} | b_{2} - a_{2} | = b_{2} + \frac{n}{m + n} (a_{2} - b_{2}) = \frac{(m + n) b_{2} + n (a_{2} - b_{2})}{m + n} = \frac{m b_{2} + n a_{2}}{m + n} \end{matrix}

$\begin{align*}p_2&=b_2+\frac{n}{m+n}|b_2-a_2|\\[0.5em]&=b_2+\frac{n}{m+n}(a_2-b_2)\\[0.5em]&=\frac{(m+n)b_2+n(a_2-b_2)}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{mb_2+na_2}{m+n}\end{align*}$

すなわち、点

P

$\text{P}$ の座標は

(p_{1}, p_{2}) = (x, \frac{m b_{2} + n a_{2}}{m + n})

$(p_1, p_2)=\left(x, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)$

と表すことができます。

　以上より、点

A, B

$\text{A, B}$ のy座標の大小関係がどのようであってもy軸に平行な線分

AB

$\text{AB}$ を

m : n

$m:n$ に内分する点

P

$\text{P}$ の座標は

(p_{1}, p_{2}) = (x, \frac{m b_{2} + n a_{2}}{m + n})

$\large (p_1, p_2)=\left(x, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)$

となることがわかります。

3. 線分 $\text{AB}$ がx軸にもy軸にも平行でない場合

　線分

AB

$\text{AB}$ がx軸にもy軸にも平行でない場合、

a_{1} \neq b_{1}

$a_1\neq b_1$ かつ

a_{2} \neq b_{2}

$a_2\neq b_2$ であり上図のようになります。（ただし、上図は

a_{1} < b_{1}

$a_1<b_1$ かつ

a_{2} < b_{2}

$a_2<b_2$ の場合）

点

A

$\text{A}$ を通るx軸に平行な直線

y = a_{2}

$y=a_2$ と点

B

$\text{B}$ を通るy軸に平行な直線

x = b_{1}

$x=b_1$ を引き、その交点を

C

$\text{C}$ とします。点

C

$\text{C}$ は点

A

$\text{A}$ と等しいy座標、点

B

$\text{B}$ と等しいx座標をもちます。
また、点

P

$\text{P}$ を通るy軸に平行な直線

x = p_{1}

$x=p_1$ と

AC

$\text{AC}$ との交点を

Q

$\text{Q}$ 、点

P

$\text{P}$ を通るx軸に平行な直線

y = p_{2}

$y=p_2$ と

BC

$\text{BC}$ との交点を

R

$\text{R}$ とします。点

Q

$\text{Q}$ は点

P

$\text{P}$ と等しいx座標、点

R

$\text{R}$ は点

P

$\text{P}$ と等しいy座標をもちます。

ここで

△ APQ

$△\text{APQ}$ と

△ PBR

$△\text{PBR}$ に着目すると

$\text{PQ}//\text{BR}$ より同位角は等しいので $∠\text{APQ}=∠\text{PBR}$
x軸とy軸は垂直で、それぞれに平行な直線同士も垂直となるから $∠\text{AQP}=∠\text{PRB}=90°$

2組の角がそれぞれ等しいので

△ APQ

$△\text{APQ}$ と

△ PBR

$△\text{PBR}$ は相似であることがわかります。

AP : BP = m : n

$\text{AP}:\text{BP}=m:n$ は相似比となるため、同様に

$\text{AQ}:\text{PR}=\text{PQ}:\text{BR}=m:n$ 。さらに四角形

$\text{PQCR}$ は長方形なので

$\text{PQ}=\text{CR, PR}=\text{CQ}$ より

$\text{AQ}:\text{CQ}=\text{CR}:\text{BR}=m:n \tag{*}$

が成り立つことがわかります。

これは

$a_1, b_1$ と

$a_2, b_2$ の大小関係に関わらず成り立ちます。

$(*)$ が成り立つということは点

$\text{Q}$ は線分

$\text{AC}$ を

$m:n$ に内分する点、点

$\text{R}$ は線分

$\text{BC}$ を

$m:n$ に内分する点であるということです。
すると、点

$\text{Q}$ のx座標と点

$\text{R}$ のy座標を求めることができれば点

$\text{P}$ の座標がわかります。

線分

$\text{AC}$ はx軸に平行な線分でその長さは

$|b_1-a_1|$ です。
したがって、

$1.$ より点

$\text{Q}$ のx座標

$p_1$ は

$p_1=\frac{mb_1+na_1}{m+n}$

と求められます。

線分

$\text{BC}$ はy軸に平行な線分でその長さは

$|b_2-a_2|$ です。
したがって、

$2.$ より点

$\text{R}$ のy座標

$p_2$ は

$p_2=\frac{mb_2+na_2}{m+n}$

と求められます。

以上より点

$\text{P}$ の座標は

$\begin{equation}(p_1, p_2)=\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)\end{equation}$

と表されることがわかります。

　ここで

$(1)$ のy座標に

$b_2=a_2$ を代入すると

$\begin{align*}p_2&=\frac{ma_2+na_2}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_2}{m+n}\\[0.5em]&=a_2\end{align*}$

すなわち

$a_2=b_2=p_2$ が成り立って点

$\text{P}$ の座標が

$\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, a_2\right)$ となり、

$1.$ の場合の点

$\text{P}$ の座標と一致します。

また、

$(1)$ のx座標に

$b_1=a_1$ を代入すると

$\begin{align*}p_1\frac{ma_1+na_1}{m+n}\\[0.5em]&=\frac{(m+n)a_1}{m+n}\\[0.5em]&=a_1\end{align*}$

すなわち

$a_1=b_1=p_1$ が成り立って点

$\text{P}$ の座標が

$\left(a_1, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)$ となり、

$2.$ の場合の点

$\text{P}$ の座標と一致します。

以上より線分

$\text{AB}$ がどのような位置にあっても

$m:n$ に内分する点

$\text{P}$ の座標は

$\large\color{red}\text{P}\left(\frac{mb_1+na_1}{m+n}, \frac{mb_2+na_2}{m+n}\right)$

と表せることがわかります。

　さらに

$m=n$ のとき点

$\text{P}$ の座標は

$\begin{align*}\left(\frac{mb_1+ma_1}{m+m}, \frac{mb_2+ma_2}{m+m}\right)&=\left(\frac{m(a_1+b_1)}{2m}, \frac{m(a_2+b_2)}{2m}\right)\\[0.5em]&=\left(\frac{a_1+b_1}{2}, \frac{a_2+b_2}{2}\right)\end{align*}$

となり、中点の座標と一致します。

数学について考えてみる

2024年1月13日