等比数列の第n部分和の極限（等比級数）

　無限等比数列のすべての項の和を等比級数（あるいは無限等比級数）といい、第$n$部分和の$n$を限りなく大きくしたときの極限によって求めることができます。
すなわち、初項$a$、公比$r$（ただし、$a\neq0,r\neq0$）の等比級数は

\[\sum_{n=1}^\infty{a r^{n-1}}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}&(r\neq1)\\[0.5em]\displaystyle\lim_{n\to\infty}na&(r=1)\end{array}\right.\]

により求められます。

関連：等比数列の和

これが発散するか収束するかは公比$r$によって決まります。

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初項0または公比0の等比数列は存在するか？

　等比数列には、初項が$0$のものや公比が$0$のものは存在するでしょうか？

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等比数列の項はnが大きくなるとどうなるか？（等比数列の極限）

　等比数列の一般項は

\[a_n=a r^{n-1}\quad(a:初項,r:公比,n:自然数)\]

と表せます。（ただし、$a\neq0,r\neq0$）

$n$が大きくなっていくと等比数列の項はどうなるでしょうか？

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等比数列の和

　初項$a$、公比$r$の等比数列の初項から第$n$項までの和は
$r=1$のとき

\[\large na\]

$r\neq1$のとき

\[\large\frac{a(1-r^n)}{1-r}\ \text{or}\ \frac{a(r^n-1)}{r-1}\]

で求めることができます。

なぜこれらの式で等比数列の和が求められるのでしょうか？

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等比数列とは？

　等比数列とは、隣接する項の比が一定である数列のことです。
例えば、

\[3,9,27,81,273,\cdots\]

という$3$に$3$を掛けた回数が小さい順に並べた数列は等比数列の1つです。

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数列の和と因数分解公式

「次の$S$を求めよ。
(1)$a_i=p^{n-i}q^{i-1}$とする。（ただし、$n:自然数,p^{-1}q\neq1$）
$S=\sum_{j=1}^n{a_i}$

(2)$a_i=p^{2(n-i)}q^{2(i-1)},b_i=p^{2(n-i)-1}q^{2i-1}$とする。（ただし、$n:自然数,p^{-1}q\neq1$）
$S=\sum_{j=1}^n{a_i}-\sum_{j=i}^{n-1}{b_i}$」

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2本の直線に挟まれた隣接する円の半径

図1　共通接線をもつ隣接する円

「60°の角度で交わる2本の直線を接線とする半径1の円$O_1$がある。また、2直線を共通の接線とし円$O_1$に接する円$O_2$、同じく2直線を共通の接線とし円$O_2$に接する円$O_3$…と図1のようにいくつもの円が並んでいる。このとき、

(1) 5番目の円$O_5$の半径を答えよ。

(2) $O_6$から$O_{10}$までの半径の和を答えよ。」

　このような問題はどのように考えればよいでしょうか？

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循環小数と無限等比級数

　循環小数を等比数列の和で表すとどのようになるでしょうか？

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