球の表面積（球の体積から導く）

　半径$r$の球の表面積は

\[\large 4\pi r^2\]

となります。

この球の表面積の公式を半径$r$の球の体積$\dfrac{4}{3}\pi r^3$から導いてみます。

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球の体積（カヴァリエリの原理をもちいて導く）

　半径$r$の球の体積は

\[\large \frac{4}{3}\pi r^3\]

となります。

この球の体積の公式をカヴァリエリの原理を利用して導いてみます。

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錐体の体積（なぜ錐体の体積は柱体の体積の1/3なのか？）

　錐体の体積は

\[\large(錐体の体積)=(底面積)\times(高さ)\div3\]

となります。

これは、底面が合同で高さが等しい柱体の体積の$\dfrac{1}{3}$であることを意味しますが、なぜこれが成り立つのでしょうか？

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三角錐を底面に平行な平面で切断したときの断面は底面と相似か？

　三角錐とは、三角形の頂点と同一平面上にない1つの頂点を線分で結んでできる空間図形のことです。

この三角錐を底面に平行な平面で切断したとき、その断面は底面と相似な形になっているでしょうか？

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カヴァリエリの原理とは？

　カヴァリエリの原理とは、平面図形に関するものと空間図形に関するものの2つがありますが、共通して一言でいえば

高さごとの切り口が同じならば全体の大きさが同じ

というものです。

なぜこのようなことがいえるのでしょうか？

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体積とは？（立方体・直方体・柱体の体積）

　体積とは、空間図形の広さを数値で表したものです。

直方体の体積は

\begin{gather*}\large (直方体の体積)=(縦の辺の長さ)\times(横の辺の長さ)\times(高さ)\\[0.5em]\large(直方体の体積)=(底面積)\times(高さ)\end{gather*}

立方体の体積は

\[\large (立方体の体積)=(1辺の長さ)^3\]

柱体の体積は

\[\large (柱体の体積)=(底面積)\times(高さ)\]

となります。

なぜこのようにして体積が求められるのでしょうか？

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円に内接・外接する正多角形を利用して円の面積の公式を導く（取りつくし法）

　円に内接・外接する正多角形を利用して、円の面積の公式を導く方法を考えてみます。

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円に内接・外接する正多角形を利用して円周率と円周の公式を導く

　円に内接・外接する正多角形を利用して、円周率や円周の公式を導く方法を考えてみます。

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円の面積（細かく分割して組み替えて求める）

　半径が$r$の円の面積は

\[\large\pi r^2\]

となります。

これはなぜなのでしょうか？

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面積とは？（正方形・長方形・平行四辺形・台形・三角形の面積）

　面積とは、平面上の図形の広さを数値で表したものです。

長方形の面積は

\[\large (長方形の面積)=(縦の辺の長さ)\times(横の辺の長さ)\]

正方形の面積は

\[\large (正方形の面積)=(1辺の長さ)\times(1辺の長さ)=(1辺の長さ)^2\]

平行四辺形の面積は

\[\large(平行四辺形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\]

台形の面積は

\[\large(台形の面積)=\bigl\{(上底の長さ)+(下底の長さ)\bigr\}\times(高さ)\div2\]

三角形の面積は

\[\large(三角形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\div2\]

となります。

なぜこのようにして面積が求められるのでしょうか？

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和と積が等しい2つの整数は？

\[\large a+b=ab\]

「上の方程式を満たす整数$a, b$の組を全て求めよ。」

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