半径が$r$の円の面積は
\[\large\pi r^2\]
となります。
これはなぜなのでしょうか？
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$n$を大きくしていくと、それぞれのおうぎ形の弧の部分は線分に近づき、形は合同な二等辺三角形に近づいていきます。
$n$が限りなく大きければ、それらおうぎ形は二等辺三角形とみなせるようになり、二等辺三角形の底辺の総和は元の円の周の長さ$2\pi r$、高さは半径$r$に等しいです。
すると、台形の面積の公式より、面積は
\[2\pi r\times r\div2=\pi r^2\]
となります。
この図形をつくるために行ったことは元の円を分割して組み替えただけなので、元の円と面積は変化していません。
したがって、$n$を限りなく大きくしたときに台形の面積として求められた
したがって、$n$を限りなく大きくしたときに台形の面積として求められた
\[\large\pi r^2\]
は元となった半径$r$の円の面積であることがわかります。
$\pi r^2$は$\pi\times r^2=\pi\times r\times r$を意味することを考えれば
直径を$d$とおくと$r=\dfrac{d}{2}$となることより
\[\large(円の面積)=(円周率)\times(半径)^2=(円周率)\times(半径)\times(半径)\]
上記の導出過程より円の面積が$2\pi r\times r\div2$とも表せ、$2\pi
r$が円周であったことを考えれば
\[\large(円の面積)=(円周)\times(半径)\div2=(円周の半分)\times(半径)\]
半径の2倍の長さが直径であることを考えれば、
直径を$d$とおくと$r=\dfrac{d}{2}$となることより
\begin{align*}\pi
r^2&=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2\\[0.5em]&=\frac{\pi
d^2}{4}\end{align*}
すなわち、
\[\large(円の面積)=(円周率)\times(直径)^2\div4\]
となり、円の面積の公式はもちいる円の要素により様々な表し方があります。
上述したのは円を直接分割し組み替えることで円の面積を求めるという方法でしたが、円に外接・内接する正$n$角形の面積と比較することで円の面積を求めるという方法もあります。
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すなわち、大小関係において
\[(内接正n角形)<(円の面積)<(外接正n角形)\]
というように円の面積は円に外接する正$n$角形の面積と円に内接する正$n$角形の面積に常に挟まれた形になります。
$n$を限りなく大きくすると、円に外接する正$n$角形の面積も円に内接する正$n$角形の面積もある1つの値に限りなく近づき、その値は$\pi
r^2$と表すことができます。
このとき、上記の不等式においては常に2つの多角形の面積の間にある円の面積が挟み撃ちされています。
このとき、上記の不等式においては常に2つの多角形の面積の間にある円の面積が挟み撃ちされています。
したがって、$\pi r^2$と円の面積が等しいことがわかります。
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