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\[\large \frac{4}{3}\pi r^3\]
となります。
この球の体積の公式をカヴァリエリの原理を利用して導いてみます。
まず、球の断面積について調べます。
球の断面積
このときの断面は円となるので、この円の半径を求めます。
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辺$\text{OQ}$は斜辺で長さは$r$、辺$\text{OP}$の長さは$d$、辺$\text{PQ}$の長さが断面の円の半径です。
三平方の定理より
\begin{align*}\text{OQ}^2&=\text{OP}^2+\text{PQ}^2\\[0.5em]r^2&=d^2+\text{PQ}^2\\[0.5em]\text{PQ}^2&=r^2-d^2\end{align*}
となり、断面積は$\mathbf{\pi(r^2-d^2)}$であることがわかります。
カヴァリエリの原理を利用して球の体積を求めるには、すでに体積を求めることができる図形で、かつ同じ高さで切ったときの断面積が球と等しい図形が必要です。
柱体と錐体の体積がすでに分かっているとき、上記にあてはまる図形には次のようなものがあります。
柱体と錐体の体積がすでに分かっているとき、上記にあてはまる図形には次のようなものがあります。
等しい断面積をもつ図形
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くり抜かれたほうを上にして高さ$d$で底面に平行に切断したときの断面積を求めます。
図形$S$の高さ$d$における断面積は、高さ$d$における円柱の断面積から、円錐の頂点から$d$だけ離れた平面で切断したときの断面積を引いたものです。
円柱の断面は底面と合同な円なので、断面積は底面積に等しく$\pi r^2$です。
円柱の断面は底面と合同な円なので、断面積は底面積に等しく$\pi r^2$です。
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ゆえに、断面の半径は$d$となるため、円錐の断面積は$\pi d^2$です。
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\[\pi r^2-\pi d^2=\mathbf{\pi(r^2-d^2)}\]
となり、半径$r$の球の中心から$d$だけ離れた平面で切断したときに断面積に一致します。
半球との比較・球の体積
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したがって、カヴァリエリの原理より半径$r$の球と図形$S$は体積が等しいことがわかります。
図形$S$の体積は、底面の半径$r$、高さ$r$の円柱の体積から、底面の半径$r$、高さ$r$の円錐の体積を引いたものなので
\begin{align*}(\pi r^2\times r)-(\pi r^2\times r\div3)&=\pi
r^3-\frac{\pi r^3}{3}\\[0.5em]&=\frac{2}{3}\pi r^3\end{align*}
となり、これが半径$r$の半球の体積です。
よって、半径$r$の球の体積は、この半球の体積の2倍なので
\[\frac{2}{3}\pi r^3\times2=\large\frac{4}{3}\pi r^3\]
であることがわかります。
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