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\[\large 4\pi r^2\]
となります。
この球の表面積の公式を半径$r$の球の体積$\dfrac{4}{3}\pi r^3$から導いてみます。
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こうしてできる球面の断片は、分割数を限りなく増やした場合、平面に限りなく近づきます。
そして、これら球面の断片と球の中心を線分でつなぐと、高さ$r$の錐体に限りなく近い図形ができます。
したがって、分割数を限りなく増やせば、半径$r$の球は高さ$r$の錐体の集まりであるとみなすことができます。
このとき、半径$r$の球の体積と高さ$r$の錐体の体積の総和が等しくなります。
また、錐体の底面は球面の断片であり、錐体の底面をすべて組み合わせると球面が出来上がるので、半径$r$の球の表面積と高さ$r$の錐体の底面積の総和が等しくなります。
このとき、半径$r$の球の体積と高さ$r$の錐体の体積の総和が等しくなります。
また、錐体の底面は球面の断片であり、錐体の底面をすべて組み合わせると球面が出来上がるので、半径$r$の球の表面積と高さ$r$の錐体の底面積の総和が等しくなります。
半径$r$の球の体積は高さ$r$の錐体の体積の総和に等しいので、
半径$r$の球の体積は$\dfrac{4}{3}\pi r^3$であることより
\[(球の体積)=(錐体\text{A}の体積)+(錐体\text{B}の体積)+(錐体\text{C}の体積)+\cdots\]
と書けます。半径$r$の球の体積は$\dfrac{4}{3}\pi r^3$であることより
\[\frac{4}{3}\pi
r^3=(錐体\text{A}の体積)+(錐体\text{B}の体積)+(錐体\text{C}の体積)+\cdots\]
錐体の体積の公式と錐体の高さが$r$であることより
\begin{align*}\frac{4}{3}\pi
r^3&=\left\{(錐体\text{A}の底面積)\times\frac{r}{3}\right\}+\left\{(錐体\text{B}の底面積)\times\frac{r}{3}\right\}+\left\{(錐体\text{C}の底面積)\times\frac{r}{3}\right\}+\cdots\\[0.5em]&=\bigl\{(錐体\text{A}の底面積)+(錐体\text{B}の底面積)+(錐体\text{C}の底面積)+\cdots\bigr\}\times\frac{r}{3}\\[0.5em]&=(錐体の底面積の総和)\times\frac{r}{3}\end{align*}
と書くことができ、錐体の底面積の総和は
\[(錐体の底面積の総和)=4\pi r^2\]
であることがわかります。
ここで、半径$r$の球の表面積と高さ$r$の錐体の底面積の総和は等しいので、半径$r$の球の表面積は
\[\large 4\pi r^2\]
であることがわかります。
半径$r$の球の体積$\dfrac{4}{3}\pi r^3$を
この式は、球は錐体の集まりであるという考え方にもとづき、球の表面積を底面積、半径を高さとし、錐体の体積の公式
\[\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\times r\div3\]
と変形して書くと、
\[(球の体積)=(球の表面積)\times(半径)\div3\]
であることを意味します。この式は、球は錐体の集まりであるという考え方にもとづき、球の表面積を底面積、半径を高さとし、錐体の体積の公式
\[(錐体の体積)=(底面積)\times(高さ)\div3\]
に当てはめたものであると考えることができます。
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球の外接円柱の側面は展開すると長辺が$2\pi r$、短辺が$2r$の長方形であることから、側面積は$4\pi r^2$となり、確かに半径$r$の球の表面積と一致します。
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