この三角錐を底面に平行な平面で切断したとき、その断面は底面と相似な形になっているでしょうか？
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平面$α$と辺$\text{AB}, \text{AC}, \text{AD}$との交点をそれぞれ$\text{E}, \text{F}, \text{G}$とします。
したがって、これから調べようとしているのは、$△\text{BCD}$と$△\text{EFG}$が相似であるかです。
まず、三角錐の側面$\text{ABC}$に着目します。
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底面$\text{BCD}$と平面$α$は平行なので、これらを横切る側面$\text{ABC}$において交線も平行となります。
すなわち、辺$\text{BC}$と直線$\text{EF}$は平行です。
ここで、$△\text{ABC}$と$△\text{AEF}$に着目すると、
- 共通の角より$∠\text{BAC}=∠\text{EAF}$
- $\text{BC}//\text{EF}$より同位角が等しいので$∠\text{ABC}=∠\text{AEF}$
このことより、
側面$\text{ACD}, \text{ADB}$においても同様にして、それぞれ
\begin{equation}\text{AB}:\text{AE}=\text{AC}:\text{AF}=\text{BC}:\text{EF}\end{equation}
が成り立ちます。側面$\text{ACD}, \text{ADB}$においても同様にして、それぞれ
\begin{gather}\text{AC}:\text{AF}=\text{AD}:\text{AG}=\text{CD}:\text{FG}\\[0.5em]\text{AD}:\text{AG}=\text{AB}:\text{AE}=\text{DB}:\text{GE}\end{gather}
が成り立つことがわかります。
$(1), (2), (3)$より
\[\text{BC}:\text{EF}=\text{CD}:\text{FG}=\text{DB}:\text{GE}\]
が成り立ち、3組の辺の比がすべて等しいので、$△\text{BCD}$と$△\text{EFG}$は相似であることがわかります。
断面積と底面積の関係
断面$\text{EFG}$の面積と底面$\text{BCD}$の面積の関係について調べてみます。
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垂線と底面$\text{BCD}$との交点を$\text{H}$、平面$α$との交点を$\text{I}$とします。
すると、線分$\text{AH}$の長さは三角錐$\text{A}-\text{BCD}$の高さとなるのでこれを$h$、線分$\text{HI}$の長さは底面$\text{BCD}$から平面$α$までの距離、すなわち切断する高さとなるのでこれを$d$とおきます。
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- 共通の角より$∠\text{BAH}=∠\text{EAI}$
- $\text{AH}\perp 平面\text{BCD}, \text{AI}\perp α$より$∠\text{AHB}=∠\text{AIE}=90°$
このことと$\text{AI}=\text{AH}-\text{HI}=h-d$より、$\text{AB}:\text{AE}=\text{AH}:\text{AI}=h:(h-d)$が成り立ちます。
これを$(1)$に代入すれば、$(1), (2), (3)$より
\[\text{BC}:\text{EF}=\text{CD}:\text{FG}=\text{DB}:\text{GE}=h:(h-d)\]
となり、$△\text{BCD}$と$△\text{EFG}$の相似比が$h:(h-d)$であることがわかります。
したがって、相似な三角形の面積比は相似比の2乗であることより、
\begin{align*}\triangle \text{BCD}:\triangle
\text{EFG}&=h^2:(h-d)^2\\[0.5em]h^2\triangle
\text{EFG}&=(h-d)^2\triangle
\text{BCD}\\[0.5em]\large\therefore\triangle
\text{EFG}&\large=\frac{(h-d)^2}{h^2}\triangle
\text{BCD}\end{align*}
となります。
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