三角形の相似・相似条件

　三角形の相似条件とは、

• 3組の辺の比がすべて等しい
• 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
• 2組の角がそれぞれ等しい

です。

なぜこのような条件となっているのでしょうか？

　三角形の相似とは、2つの三角形の形が同じで拡大や縮小を行うことでちょうど重ね合わせることができる関係のことをいいます。

重ね合わせるときに行える操作は、三角形の合同と同じ

• 平行移動：形や大きさ、向きを変えずに移動させる
• 回転移動：形や大きさを変えずに向きを変える
• 対称移動（鏡映）：形や大きさを変えずに裏返す

に加え

• 拡大・縮小：形や向きを変えずに大きさを変える

ができます。

三角形の形が同じというのは、対応する3つの辺の長さの比がすべて等しく、かつ3つの内角の大きさがそれぞれ等しいことを指します。（つまり、拡大・縮小とはこの条件を守って大きさを変える操作ということです。）

三角形の合同における「形と大きさが同じ」ではすべての辺の組に長さが等しいという共通点がなければならないのに対し、三角形の相似における「形が同じ」では各辺の組の長さの関係（比）が共通していればよい、というように条件が緩められています。この3組の辺で共通する長さの比のことを相似比といい、三角形の合同はこの相似比が$1:1$となる特別な場合を指すといえます。
そして、三角形の相似と合同の関係と同様、三角形の相似条件も三角形の合同条件の中の辺の長さの条件を緩めたものとなっています。

関連：三角形の合同・合同条件

そこで、三角形の相似条件が緩い合同条件であること、そして相似条件から相似な三角形がつくれることを確かめてみます。

3組の辺の比がすべて等しい

　「3組の辺の比がすべて等しい」は、合同条件「3組の辺がそれぞれ等しい」の辺の長さの条件を緩めたものとなります。

相似な三角形はつくれるか？

　元となる三角形を$△\text{ABC}$として、辺$\text{AB}$または頂点$\text{B}$の側の延長上に点$\text{D}$をとります。
点$\text{D}$を通る辺$\text{BC}$に平行な直線を引き、辺$\text{AC}$またはその延長との交点を$\text{E}$とします。

このとき、平行線と線分の比の性質より$\text{AB}:\text{AD}=\text{AC}:\text{AE}$かつ$\text{AB}:\text{AD}=\text{BC}:\text{DE}$、すなわち

\[\text{AB}:\text{AD}=\text{BC}:\text{DE}=\text{CA}:\text{EA}\]

が成り立ち、$△\text{ADE}$は$△\text{ABC}$と「3組の辺の比がすべて等しい」三角形であることがわかります。

関連：平行線と線分の比の性質　①三角形を横切る1辺に平行な直線

また、共通の角より$∠\text{BAC}=∠\text{DAE}$、平行線の同位角より$∠\text{ABC}=∠\text{ADE}, ∠\text{ACB}=∠\text{AED}$なので、$△\text{ADE}$は$△\text{ABC}$と3組の角がそれぞれ等しいこともわかります。
すると、$△\text{ADE}$は$△\text{ABC}$と形が同じ、すなわち相似な三角形の条件を満たしていることがわかります。

　もし、$△\text{ABC}$と「3組の辺の比がすべて$m:n$で等しい」三角形$△\text{PQR}$があったとします。（この$△\text{PQR}$の辺の長さは$△\text{ABC}$の対応する辺の長さの$\dfrac{m}{n}$倍です。）
上記の方法で$△\text{ABC}$と「3組の辺の比がすべて$m:n$で等しい」$△\text{ADE}$をつくり比較すると、$△\text{PQR}$と$△\text{ADE}$は「3組の辺がそれぞれ等しい」合同な三角形となります。
そして、$△\text{ADE}$は$△\text{ABC}$と相似な三角形なので、$△\text{ADE}$と合同な（形と大きさが同じ）$△\text{PQR}$もまた$△\text{ABC}$と相似な三角形であるとわかります。

このように、「3組の辺の比がすべて等しい」三角形は元となる三角形からつくった相似な三角形と必ず合同になり、他の形の三角形は存在しません。
したがって、「3組の辺の比がすべて等しい」は三角形の相似条件の1つとなります。

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

　「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」は、合同条件「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」の辺の長さの条件を緩めたものとなります。

相似な三角形はつくれるか？

　元となる三角形$△\text{ABC}$の頂点$\text{A}$を基準として辺$\text{AB}, \text{AC}$または頂点$\text{B}, \text{C}$側の延長上にそれぞれ$\text{AB}:\text{AD}=\text{AC}:\text{AE}$となるように点$\text{D}, \text{E}$をとります。
こうしてできる$△\text{ADE}$は、頂点$\text{A}$を基準とした$△\text{ABC}$と「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」三角形となります。

このとき、平行線と線分の比の性質の逆より$\text{BC}//\text{DE}$が成り立ち、さらに平行線と線分の比の性質より

\[\text{AB}:\text{AD}=\text{BC}:\text{DE}=\text{CA}:\text{EA}\]

が成り立つことがわかります。

また、共通の角より$∠\text{BAC}=∠\text{DAE}$、平行線の同位角より$∠\text{ABC}=∠\text{ADE}, ∠\text{ACB}=∠\text{AED}$なので、$△\text{ADE}$は$△\text{ABC}$と相似な三角形の条件を満たしていることがわかります。

これは頂点$\text{B}$や$\text{C}$を基準としてつくった$△\text{BDE}, △\text{CDE}$でも同様です。

　もし、$△\text{ABC}$と「2組の辺の比が$m:n$で等しく、その間の角も等しい」三角形$△\text{PQR}$があったとします。
上記の方法で$△\text{ABC}$と「2組の辺の比が$m:n$で等しく、その間の角も等しい」$△\text{ADE}$（あるいは$△\text{BDE}$や$△\text{CDE}$）をつくり比較すると、$△\text{PQR}$と$△\text{ADE}$は「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」合同な三角形となります。
そして、$△\text{ADE}$は$△\text{ABC}$と相似な三角形なので、$△\text{ADE}$と合同な$△\text{PQR}$もまた$△\text{ABC}$と相似な三角形であるとわかります。

このように、「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」三角形は元となる三角形からつくった相似な三角形と必ず合同になり、他の形の三角形は存在しません。
したがって、「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」は三角形の相似条件の1つとなります。

2組の角がそれぞれ等しい

　「2組の角がそれぞれ等しい」は、合同条件「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」の辺の長さの条件を緩めたものとなります。
相似条件のほうには辺が登場しませんが、これは1組の辺だけでは各辺の組の長さの比が共通していることを示せないためで、本質的に三角形の形は内角によって決まることを表しているともいえます。

また、形が同じ三角形の内角の条件は「3組の角がそれぞれ等しい」ことなのに、相似条件においては2組の角で十分な理由は「三角形の内角の和は$180°$」という性質にあります。
この性質により、2つの内角の大きさがわかればもう1つの内角の大きさもわかるので、「2組の角がそれぞれ等し」ければ3組目の角も等しいことがわかります。

相似な三角形はつくれるか？

　元となる$△\text{ABC}$の頂点$\text{A}$を基準として辺$\text{AB}$または頂点$\text{B}$の側の延長上に点$\text{D}$をとり、$∠\text{ABC}=∠\text{ADE}$となるように辺$\text{AC}$またはその延長上に点$\text{E}$をとって直線$\text{DE}$を引きます。
こうしてできる$△\text{ADE}$は、頂点$\text{A}$を基準とした$△\text{ABC}$と「2組の角がそれぞれ等しい」三角形となります。

このとき、$∠\text{ABC}$と$∠\text{ADE}$は同位角であり等しいので$\text{BC}//\text{DE}$が成り立ち、平行線と線分の比の性質より

\[\text{AB}:\text{AD}=\text{BC}:\text{DE}=\text{CA}:\text{EA}\]

が成り立ちます。

また、$\text{BC}//\text{DE}$より同位角が等しいので$∠\text{ACB}=∠\text{AED}$となり、$△\text{ADE}$は$△\text{ABC}$と相似な三角形の条件を満たしていることがわかります。

これは頂点$\text{B}$や$\text{C}$を基準としてつくった$△\text{BDE}, △\text{CDE}$でも同様です。

　もし、$△\text{ABC}$と「2組の角がそれぞれ等しく、その間の辺の比が$m:n$となっている」三角形$△\text{PQR}$があったとします。
上記の方法で$△\text{ABC}$と「2組の角がそれぞれ等しく、その間の辺の比が$m:n$となっている」$△\text{ADE}$（あるいは$△\text{BDE}$や$△\text{CDE}$）をつくり比較すると、$△\text{PQR}$と$△\text{ADE}$は「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」合同な三角形となります。
そして、$△\text{ADE}$は$△\text{ABC}$と相似な三角形なので、$△\text{ADE}$と合同な$△\text{PQR}$もまた$△\text{ABC}$と相似な三角形であるとわかります。

このように、「2組の角がそれぞれ等しい」三角形は元となる三角形からつくった相似な三角形と必ず合同になり、他の形の三角形は存在しません。
したがって、「2組の角がそれぞれ等しい」は三角形の相似条件の1つとなります。

関連：直角三角形の相似・相似条件

関連：相似な三角形のそれぞれの3辺の比

関連：相似な三角形の面積比はなぜ相似比の2乗となるのか？

関連：三角形の合同・合同条件