平行線と線分の比の性質 ①三角形を横切る1辺に平行な直線

　$△\text{ABC}$を横切るように辺$\text{BC}$に平行な直線を引き、辺$\text{AB}$との交点を$\text{P}$、辺$\text{AC}$との交点を$\text{Q}$とします。

すると、線分の長さについて以下のことが成り立ちます。

性質①：

\[\large \text{AB}:\text{AP}:\text{PB}=\text{AC}:\text{AQ}:\text{QC}\]

性質②：

\[\large \text{AB}:\text{AP}=\text{BC}:\text{PQ}\]

性質①の逆：辺$\text{AB}$上の点$\text{P}$と辺$\text{AC}$上の点$\text{Q}$について、
$\text{AP}:\text{PB}=\text{AQ}:\text{QC}$が成り立つならば

\[\text{BC}//\text{PQ}\]

これらのことを確かめてみます。

性質①

　この$\text{AB}:\text{AP}:\text{PB}=\text{AC}:\text{AQ}:\text{QC}$は、$\text{AP}:\text{PB}=\text{AQ}:\text{QC}$が成り立つかを調べれば確かめることができます。

$\text{AP}:\text{PB}=\text{AQ}:\text{QC}$

　線分$\text{QB}$を引いて、$△\text{APQ}$と$△\text{PBQ}$の面積について考えます。

頂点$\text{Q}$から直線$\text{AB}$へ垂線を下ろしてその足を$\text{D}$をすると、線分$\text{QD}$の長さは$△\text{APQ}$の辺$\text{AP}$、$△\text{PBQ}$の辺$\text{PB}$を底辺としたときの各三角形の高さとなります。
すると、$△\text{APQ}$と$△\text{PQB}$の面積は

\begin{align*}\triangle \text{APQ}&=\frac{1}{2}\cdot \text{AP}\cdot \text{QD}\\[1em]\triangle \text{PBQ}&=\frac{1}{2}\cdot \text{PB}\cdot \text{QD}\end{align*}

となるので、面積比$△\text{APQ}:△\text{PBQ}$は

\begin{align*}\triangle \text{APQ}:\triangle \text{PBQ}&=\left(\frac{1}{2}\cdot \text{AP}\cdot \text{QD}\right):\left(\frac{1}{2}\cdot \text{PB}\cdot \text{QD}\right)\\[0.5em]\therefore\triangle \text{APQ}:\triangle \text{PBQ}&=\text{AP}:\text{PB}\tag1\end{align*}

となります。
すなわち、高さが共通している三角形の面積比は底辺の長さの比と等しくなります。

　今度は、線分$\text{PC}$を引いて、$△\text{APQ}$と$△\text{PCQ}$の面積について考えます。
上と同様にすると、面積比

\[\triangle \text{APQ}:\triangle \text{PCQ}=\text{AQ}:\text{QC}\tag2\]

を得ます。

　ここで、$△\text{PBQ}$と$△\text{PCQ}$に着目します。

$\text{BC}//\text{PQ}$より、一方の直線上のどの点から他方の直線へ垂線を下ろしても垂線の長さは常に等しいので、頂点$\text{B}$から直線$\text{PQ}$へおろした垂線の長さと頂点$\text{C}$から直線$\text{PQ}$へおろした垂線の長さは等しくなります。
すなわち、共通の辺$\text{PQ}$を底辺としたときの$△\text{PBQ}$と$△\text{PCQ}$の高さは等しいということです。
そして、底辺の長さが等しく高さも等しいので$△\text{PBQ}$と$△\text{PCQ}$の面積も等しいことがわかります。

したがって、$△\text{PBQ}=△\text{PCQ}$と$(1), (2)$より

\begin{align*}\triangle \text{APQ}:\triangle \text{PBQ}&=\triangle \text{APQ}:\triangle \text{PCQ}\\[0.5em]\large\therefore \text{AP}:\text{PB}&\large=\text{AQ}:\text{QC}\end{align*}

が導かれます。

　$\text{AP}:\text{PB}=m:n$とおくと$\text{AB}=\text{AP}+\text{PB}$より、線分$\text{AB}$の長さに対する比の数は$m+n$と表すことができます。

したがって、連比で

\[\text{AB}:\text{AP}:\text{PB}=(m+n): m:n\tag3\]

と書くことができます。

$\text{AP}:\text{PB}=\text{AQ}:\text{QC}$より$\text{AQ}:\text{QC}=m:n$となり、上記と同様に$\text{AC}=\text{AQ}+\text{QC}$より線分$\text{AC}$の長さに対する比の数も$m+n$と表すことができます。
したがって、連比で

\[\text{AC}:\text{AQ}:\text{QC}=(m+n): m:n\tag4\]

と書くことができます。

$(3), (4)$より、

\[\large \text{AB}:\text{AP}:\text{PB}=\text{AC}:\text{AQ}:\text{QC}\]

が成り立つことがわかります。

性質②

　$\text{BC}//\text{RS}$かつ$\text{AQ}=\text{RS}$となるように辺$\text{AB}$上に点$\text{R}$、辺$\text{BC}$上に点$\text{S}$をとって線分$RS$を引きます。
こうしてできる$△\text{RBS}$は$△\text{APQ}$と

• 仮定より$\text{RS}=\text{AQ}$
• 平行線の同位角は等しいので$∠\text{BRS}=∠\text{PAQ}$
• 同様に$∠\text{BSR}=∠\text{PQA}$

なので、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいため合同であることがわかります。

関連：三角形の合同・合同条件

このことから、

\begin{gather*}\text{AP}=\text{RB}\tag5\\[1em]\text{PQ}=\text{BS}\tag6\end{gather*}

です。

また、$BC//RS$と性質①より

\[\text{AB}:\text{RB}:\text{AR}=\text{BC}:\text{BS}:\text{SC}\]

が成り立ちます。

上の連比の

\[\text{AB}:\text{RB}=\text{BC}:\text{BS}\]

に着目して、$(5), (6)$を代入すると

\[\large \text{AB}:\text{AP}=\text{BC}:\text{PQ}\]

となることがわかります。

性質①の逆

　最初に

\[\text{AP}:\text{PB}=\text{AQ}:\text{QC}=m:n\tag7\]

とおきます。

　線分$\text{PQ}, \text{QB}$を引いて$△\text{APQ}$と$△\text{PBQ}$に着目すると、面積比は

\begin{align*}\triangle \text{APQ}:\triangle \text{PBQ}&=\text{AP}:\text{PB}\\[0.5em]\therefore\triangle \text{APQ}:\triangle \text{PBQ}&=m :n&(\because(7))\tag8\end{align*}

となります。

また、線分$PC$を引いて$△\text{APQ}$と$△\text{PCQ}$に着目すると、面積比は

\begin{align*}\triangle \text{APQ}:\triangle \text{PCQ}&=\text{AQ}:\text{QC}\\[0.5em]\therefore\triangle \text{APQ}:\triangle \text{PCQ}&=m :n&(\because(7))\tag9\end{align*}

となります。

$(8), (9)$より

\[\triangle \text{PBQ}=\triangle \text{PCQ}\]

であることがわかります。
すると、これらの三角形は共通の辺$\text{PQ}$をもっており、これを底辺とすると面積が等しいことから高さが等しいことがわかります。

$△\text{PBQ}$の高さは頂点$\text{B}$から直線$\text{PQ}$へおろした垂線の長さ、$△\text{PCQ}$の高さは頂点$\text{C}$から直線$\text{PQ}$へおろした垂線の長さなので、これらが等しく、かつ直線$\text{PQ}$と同じ側に頂点$\text{B}, \text{C}$があるということは直線$\text{BC}$と直線$\text{PQ}$が平行であることを意味します。

したがって、性質①の逆

辺$\text{AB}$上の点$\text{P}$と辺$\text{AC}$上の点$\text{Q}$について、
$\text{AB}:\text{AP}:\text{PB}=\text{AC}:\text{AQ}:\text{QC}$が成り立つならば

\[\text{BC}//\text{PQ}\]

が成り立つことがわかります。

　ちなみに性質②の逆

辺$\text{AB}$上の点$\text{P}$と辺$\text{AC}$上の点$\text{Q}$について、
$\text{AB}:\text{AP}=\text{BC}:\text{PQ}$が成り立つならば

\[\text{BC}//\text{PQ}\]

は成り立ちません。

なぜなら、上図の線分$\text{PQ'}$のように$\text{AB}:\text{AP}=\text{BC}:\text{PQ}$を満たしていても辺$BC$と平行な線分でない場合があるからです。