2次関数とは？（グラフの形、頂点、軸）

　2次関数とは、

\[\large y=ax^2+bx+c\qquad(a, b, c:定数,a\neq0)\]

という独立変数（ここでは$x$）についての2次式によって値が決まる関数のことです。

2次関数$y=ax^2$について

　$a=1, b=0, c=0$のときの2次関数$y=x^2$は最も基本的な2次関数です。
この$y=x^2$のとる値について調べてみます。

\[x^2=x\cdot x\qquad\bigl(\cdot:乗算記号(\timesと同じ)\bigr)\]

であるので、正負の掛け算より以下のことがいえます。

• $x=0$のとき：$0^2=0$なので$y=0$
• $x>0$のとき：$x^2>0$となるので$y$は正の数、$x$の値が$0$より大きいほど$y$は大きくなる
• $x<0$のとき：$x^2>0$となるので$y$は正の数、$x$の値が$0$より小さいほど$y$は大きくなる

いくつかの$x$の値での$y$の値を表に表すと以下のようになります。

$y=x^2$の値の関係
$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$\ 0\ $	$\ 1\ $	$\ 2\ $	$\ 3\ $
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

上記をまとめると、

$x=0$のとき$y=0$で、$x$の絶対値が大きくなるほど$y$が大きくなる

ということです。

また、上記の表や正負の掛け算の性質から気づいた方もいるかもしれませんが、$x=a$と$x=-a$（$a:$正の数）それぞれのときの$y$の値を調べると

\begin{align*}x=a&のとき\\ y&=a^2\\[1em]x=-a&のとき\\ y&=(-a)^2\\[0.5em]&=a^2\end{align*}

となるため、

$x$の絶対値が等しいとき、$y$の値も等しい

という性質（対称性）もあることがわかります。

そして、$y=x^2$の$x$と$y$の値の関係をグラフとして座標平面上で表すと上図のようになります。
この曲線のことを放物線といい、物体を空中に放り投げたときに描く軌跡と同じ形となります。
$y=x^2$のグラフは上記の対称性によりy軸に関して左右対称となります。

　今度は$a$を$0$以外の任意の定数とした場合を考えます。

2次関数$y=x^2$と比較すると、どの$x$における$y$の値でも等しく$a$倍されているので、以下のことがいえます。

$a>0$のとき

• $0<a<1$のとき：$x$の絶対値が大きくなると、$y=x^2$より遅く$y$が増加する
• $a>1$のとき：$x$の絶対値が大きくなると、$y=x^2$より早く$y$が増加する

$a<0$のとき

$a>0$のときの$y=ax^2$と同じ$x$における$y$の値の正負が反転するため、

$x=0$のとき$y=0$で、$x$の絶対値が大きくなるほど$y$が小さくなる

となります。

特に$a=-1$のとき、すなわち$y=-x^2$のグラフは$y=x^2$のグラフをちょうどx軸に関して対称移動したものとなっています。

関連：関数のグラフの対称移動

この$y=-x^2$を基準として、他の$a<0$の場合を考えると以下のようになります。

• $0>a>-1$のとき：$x$の絶対値が大きくなると、$a=-1$のときより遅く$y$が減少する
• $a<-1$のとき：$x$の絶対値が大きくなると、$a=-1$のときより早く$y$が減少する

それぞれの場合の例を表に表すと以下のようになります。

$x^2, \dfrac{1}{2}x^2, 2x^2, -x^2, -\dfrac{1}{2}x^2, -2x^2$の値の関係

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$\ 0\ $	$\ 1\ $	$\ 2\ $	$\ 3\ $
$x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$
$\dfrac{1}{2}x^2$	$\dfrac{9}{2}$	$2$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$2$	$\dfrac{9}{2}$
$2x^2$	$18$	$8$	$2$	$0$	$2$	$8$	$18$
$-x^2$	$-9$	$-4$	$-1$	$0$	$-1$	$-4$	$-9$
$-\dfrac{1}{2}x^2$	$-\dfrac{9}{2}$	$-2$	$-\dfrac{1}{2}$	$0$	$-\dfrac{1}{2}$	$-2$	$-\dfrac{9}{2}$
$-2x^2$	$-18$	$-8$	$-2$	$0$	$-2$	$-8$	$-18$

$y=ax^2$のグラフは上図のようになります。
$a<0$のときのグラフはいずれも$a>0$のときのグラフをx軸に関して対称移動したものとなっており、$a>0$のときの谷型のグラフのことを下に凸、$a<0$のときの山型のグラフのことを上に凸といいます。

また、$y=x^2$のグラフと同様にこれらの曲線も放物線であり、$0<|a|<1$のときのグラフは$y=x^2$のグラフがy軸方向に押し縮められた幅広い形となり、$|a|>1$のときのグラフは$y=x^2$のグラフがy軸方向に引き延ばされた細い形となります。

すべての実数$x$の中で$y$が最小または最大となる点（$y=ax^2$においては原点）を頂点といい、グラフの対称軸（$y=ax^2$においてはy軸）を放物線の軸といいます。
放物線の軸は必ず頂点を通ります。

2次関数$y=ax^2+bx+c$について

　$a, b, c$が任意の定数（ただし、$a$は$0$でない）ときの2次関数、すなわち一般の2次関数$y=ax^2+bx+c$については、$y=ax^2$を基本として考えることができます。

どの2次式$ax^2+bx+c$も平方完成すると$a(x-p)^2+q$（$p,q:$定数）の形にすることができるため、2次関数$y=ax^2+bx+c$も$y=a(x-p)^2+q$という形にすることができます。

関連：平方完成するには

$y=a(x-p)^2+q$という形に変形すると、これは$y=ax^2$をx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動したものであることがわかります。
すると、$y=ax^2$のグラフと同様に$y=a(x-p)^2+q$のグラフも放物線であり、頂点は原点から$(p, q)$へ、放物線の軸はy軸から直線$x=p$へ平行移動していることになります。

関連：関数のグラフの平行移動

　$y=ax^2=a(x-0)^2+0$と書くことができ、原点の座標は$(0,0)$、y軸に重なる直線は直線$x=0$であることから、2次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフについて以下のようにまとめることができます。

2次関数$y=ax^2+bx+c$を平方完成して
$y=a(x-p)^2+q$に変形してわかること

$a$の値		グラフの形		頂点	放物線の軸
$a>0$	$a>1$	下に凸	細い	$(p, q)$	直線$x=p$
	$a=1$		標準
	$0<a<1$		幅広い
$a<0$	$-1<a<0$	上に凸	幅広い
	$a=-1$		標準
	$a<-1$		細い

関連：1次関数（グラフの形、傾き、y切片）