確率とは？（「同様に確からしい」という仮定）

　確率とは、ある事象が起こる可能性がどのくらいあるのかを数値で表したものです。

起こりうる結果が複数ある行動のことを試行、試行によって起こる出来事を事象といいます。
ただし、事象は試行によって起こる個別の結果だけを指すのではなく、いくつかの結果を組み合わせたものも指します。

例えば、「6面サイコロを1回投げる」というのが試行、「3の目が出る」や「偶数の目が出る」というのが事象にあたります。
そして、6面サイコロを1回投げて3の目が出る可能性はどのくらいあるのかを表すものが確率にあたります。

「可能性はどのくらいあるのか」をどのように数値で評価するのかについてですが、これは同じ試行を何回も繰り返して、試行の回数に対する着目した事象が起きた回数の割合によって評価します。
すなわち、

\[(\text{確率})=\frac{(\text{着目した事象が起きた回数})}{(\text{試行回数})}\]

によって数値化するということです。

先ほどのサイコロの例で考えれば、6面サイコロを1回投げて3の目が出る確率は、サイコロを何回も投げ続けて

\[\frac{(\text{3の目が出た回数})}{(\text{投げた回数})}\]

を計算することで求めることになります。

　ここで、試行回数が多くなればなるほどある事象の起きた回数の割合は一定の値に近づいていくという性質があり、これを大数の法則といいます。
この性質により、割合を厳密に求めようとすれば理論上無限回の試行が必要となってしまいます。

しかし、無限に試行を繰り返すことはできないので、試行を十分に大きい回数繰り返し、ある事象の起きた回数の割合が一定の値に近づいていることを認めたとき、その値をその事象の起こる確率であると考えます。

このように割合で考えると、確率には次のような性質があることがわかります。

• 着目した事象が起きる確率は$0$以上$1$以下の値をとる
• 必ず起きる事象の確率は$1$
• 絶対に起きない事象の確率は$0$
• 試行によって起こりうるすべての結果の確率の和は$1$

　確率を求めようとすれば、そのたびにこの膨大な試行回数の実験が必要となってしまいます。
そこで、「同様に確からしい」という仮定に基づいて確率を考察する方法がとられます。

同様に確からしい

　同様に確からしいとは、ある試行によって起こりうる結果がそれぞれ同程度に起こりやすいとする仮定のことです。
そして、同様に確からしいと仮定すると、試行の結果が起きる確率をそれぞれ

\[\frac{(1)}{(\text{起こりうる結果の総数})}\tag1\]

で求めることができます。

例えば、「6面サイコロの目の出方は同様に確からしい」とは、6面サイコロの1から6の目はそれぞれ同程度に出やすいと仮定するということで、それぞれの目の出る確率は$\dfrac{1}{6}$になります。

なぜ試行の結果の確率が$(1)$で求められるのかを、サイコロの例で考えてみます。

まず、6面サイコロを1回投げて1の目が出る確率を$p$とおきます。
すると、「6面サイコロの目の出方は同様に確からしい」という仮定より2から6それぞれの目が出る確率も$p$とおくことができます。

そして、確率の性質「試行によって起こりうるすべての結果の確率の和は$1$」より、それぞれの目が出る確率を足し合わせると

\[p +p +p +p +p +p=1\]

が成り立つので、$p$の値を求めると

\begin{align*}6p&=1\\[0.5em]p&=\frac{1}{6}\end{align*}

となり、6面サイコロを1回投げて1から6それぞれの目が出る確率は$\dfrac{1}{6}$であることがわかります。

このように、同様に確からしい試行の結果が起こる確率は$(1)$で求められることがわかります。

$(1)$を書き換えると、

試行の結果が$n$通りあり、それらが同様に確からしいとき、それぞれの結果が起きる確率は

\[\dfrac{1}{n}\]

となります。

ただし、仮定の方法は「同様に確からしい」の他にもあります。

例えば、6面サイコロの2から6それぞれの目の出方は同様に確からしいが、1の目の出方は他の目の2倍出やすい、のように結果の起きやすさに偏りをつくるような仮定をする場合もあります。

このように、試行の結果の起こりやすさについて仮定をし、その仮定のもとで確率を計算するのが仮定に基づいた確率となります。

また、確率とは事象を完璧に予測するためのものではなく、事象の起こりやすさを考察するための道具といえます。