平行線と線分の比の性質 ②3本の平行線を横切る2本の直線

　3本の平行な直線$l, m, n$を横切る2本の直線$j, k$について以下のことが成り立ちます。

直線$j$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{A}, \text{B}, \text{C}$、直線$k$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{D}, \text{E}, \text{F}$とすると

\[\text{AB}:\text{BC}:\text{CA}=\text{DE}:\text{EF}:\text{FD}\]

これが成り立つことを確かめてみます。

2つの場合で考えます。

直線$j, k$が平行なとき

　$l//m$かつ$m//n$かつ$n//l$かつ$j//k$より四角形$\text{ABED}, \text{BCFE}, \text{ACFD}$はすべて平行四辺形となることがわかります。
すると、平行四辺形の性質より

\begin{gather*}\text{AB}=\text{DE}\\[1em]\text{BC}=\text{EF}\\[1em]\text{CA}=\text{FD}\end{gather*}

が成り立ちます。

したがって、

\[\large \text{AB}:\text{BC}:\text{CA}=\text{DE}:\text{EF}:\text{FD}\]

もまた成り立つことがわかります。

直線$j, k$が平行でないとき

　点$\text{A}$を通る直線$k$に平行な直線$k'$を引き、直線$m, n$との交点を$\text{G}, \text{H}$とします。

$l//m$かつ$m//n$かつ$n//l$かつ$k//k'$より四角形$\text{AGED}, \text{GHFE}, \text{AHFD}$はすべて平行四辺形であることがわかります。
すると、平行四辺形の性質より

\begin{gather}\text{AG}=\text{DE}\\[1em]\text{GH}=\text{EF}\\[1em]\text{HA}=\text{FE}\end{gather}

が成り立ちます。

ここで、$△\text{ACH}$に着目すると辺$\text{CH}$に平行な直線$\text{BG}$（$m$）が横切っているので、「平行線と線分の比の性質　①三角形を横切る1辺に平行な直線」より

\[\text{AB}:\text{BC}:\text{CA}=\text{AG}:\text{GH}:\text{HA}\]

が成り立つので、これに$(1), (2),(3)$を代入すると

\[\large \text{AB}:\text{BC}:\text{CA}=\text{DE}:\text{EF}:\text{FD}\]

が成り立つことがわかります。

以上より、3本の平行な直線$l, m, n$を横切る2本の直線$j, k$について、直線$j, k$が平行な場合も平行でない場合も

直線$j$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{A}, \text{B}, \text{C}$、直線$k$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{D}, \text{E}, \text{F}$とすると

\[\text{AB}:\text{BC}:\text{CA}=\text{DE}:\text{EF}:\text{FD}\]

が成り立つことがわかります。

　ちなみにこの性質の逆、すなわち

直線$j$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{A}, \text{B}, \text{C}$、直線$k$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$\text{D}, \text{E}, \text{F}$としたとき、
$\text{AB}:\text{BC}:\text{CA}=\text{DE}:\text{EF}:\text{FD}$が成り立つならば

\[l//m\text{かつ}m//n\text{かつ}n//l\]

は成り立ちません。

例えば、上図のように直線$l, m, n$が1点$\text{O}$で交わっているとき、これらの直線を横切るように平行な直線$j, k$を引いた場合を考えます。
すると、$△\text{OAB}$と$△\text{ODE}$、$△\text{OBC}$と$△\text{OEF}$、$△\text{OCA}$と$△\text{OFD}$はそれぞれ2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。

関連：三角形の相似・相似条件

$△\text{OAB}$と$△\text{ODE}$の相似比について

\[\text{OA}:\text{OD}=\text{OB}:\text{OE}=\text{AB}:\text{DE}=a:b\tag4\]

とおくと、$△\text{OBC}$と$△\text{OEF}$の相似比は$(4)$より

\[\text{OB}:\text{OE}=\text{OC}:\text{OF}=\text{BC}:\text{EF}=a:b\tag5\]

$△\text{OCA}$と$△\text{OFD}$の相似比は$(5)$より

\[\text{OC}:\text{OF}=\text{OA}:\text{OD}=\text{CA}:\text{FD}=a:b\tag6\]

となります。

また、$(4)$より

\begin{align*}\text{AB}:\text{DE}&=a:b\\[0.5em]a\cdot \text{DE}&=b\cdot \text{AB}\\[0.5em]\text{DE}&=\frac{b}{a}\text{AB}\end{align*}

となり、同様に$(5), (6)$より

\begin{gather*}\text{EF}=\frac{b}{a}\text{BC}\\[1em]\text{FD}=\frac{b}{a}\text{CA}\end{gather*}

となります。

したがって、

\begin{align*}\text{DE}:\text{EF}:\text{FD}&=\frac{b}{a}\text{AB}:\frac{b}{a}\text{BC}:\frac{b}{a}\text{CA}\\[0.5em]\large\therefore \text{AB}:\text{BC}:\text{CA}&\large=\text{DE}:\text{EF}:\text{FD}\end{align*}

が成り立つことがわかります。

このように、直線$l, m, n$が互いに平行でなくとも比の関係が成り立つ場合があるため、上記の性質の逆は成り立たないことがわかります。

関連：平行線と線分の比の性質　①三角形を横切る1辺に平行な直線