平行線と線分の比の性質 ②3本の平行線を横切る2本の直線

　3本の平行な直線$l, m, n$を横切る2本の直線$j, k$について以下のことが成り立ちます。

直線$j$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$A, B, C$、直線$k$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$D, E, F$とすると

\[AB:BC:CA=DE:EF:FD\]

これが成り立つことを確かめてみます。

2つの場合で考えます。

直線$j, k$が平行なとき

　$l//m$かつ$m//n$かつ$n//l$かつ$j//k$より四角形$ABED, BCFE, ACFD$はすべて平行四辺形となることがわかります。
すると、平行四辺形の性質より

\begin{gather*}AB=DE\\[1em]BC=EF\\[1em]CA=FD\end{gather*}

が成り立ちます。

したがって、

\[\large AB:BC:CA=DE:EF:FD\]

もまた成り立つことがわかります。

直線$j, k$が平行でないとき

　点$A$を通る直線$k$に平行な直線$k'$を引き、直線$m, n$との交点を$G, H$とします。

$l//m$かつ$m//n$かつ$n//l$かつ$k//k'$より四角形$AGED, GHFE, AHFD$はすべて平行四辺形であることがわかります。
すると、平行四辺形の性質より

\begin{gather}AG=DE\\[1em]GH=EF\\[1em]HA=FE\end{gather}

が成り立ちます。

ここで、$△ACH$に着目すると辺$CH$に平行な直線$BG$（$m$）が横切っているので、「平行線と線分の比の性質　①三角形を横切る1辺に平行な直線」より

\[AB:BC:CA=AG:GH:HA\]

が成り立つので、これに$(1), (2),(3)$を代入すると

\[\large AB:BC:CA=DE:EF:FD\]

が成り立つことがわかります。

以上より、3本の平行な直線$l, m, n$を横切る2本の直線$j, k$について、直線$j, k$が平行な場合も平行でない場合も

直線$j$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$A, B, C$、直線$k$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$D, E, F$とすると

\[AB:BC:CA=DE:EF:FD\]

が成り立つことがわかります。

　ちなみにこの性質の逆、すなわち

直線$j$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$A, B, C$、直線$k$と直線$l, m, n$それぞれとの交点を$D, E, F$としたとき、
$AB:BC:CA=DE:EF:FD$が成り立つならば

\[l//m\text{かつ}m//n\text{かつ}n//l\]

は成り立ちません。

例えば、上図のように直線$l, m, n$が1点$O$で交わっているとき、これらの直線を横切るように平行な直線$j, k$を引いた場合を考えます。
すると、$△OAB$と$△ODE$、$△OBC$と$△OEF$、$△OCA$と$△OFD$はそれぞれ2組の角がそれぞれ等しいので相似であることがわかります。

$△OAB$と$△ODE$の相似比について

\[OA:OD=OB:OE=AB:DE=a:b\tag4\]

とおくと、$△OBC$と$△OEF$の相似比は$(4)$より

\[OB:OE=OC:OF=BC:EF=a:b\tag5\]

$△OCA$と$△OFD$の相似比は$(5)$より

\[OC:OF=OA:OD=CA:FD=a:b\tag6\]

となります。

また、$(4)$より

\begin{align*}AB:DE&=a:b\\[0.5em]a\cdot DE&=b\cdot AB\\[0.5em]DE&=\frac{b}{a}AB\end{align*}

となり、同様に$(5), (6)$より

\begin{gather*}EF=\frac{b}{a}BC\\[1em]FD=\frac{b}{a}CA\end{gather*}

となります。

したがって、

\begin{align*}DE:EF:FD&=\frac{b}{a}AB:\frac{b}{a}BC:\frac{b}{a}CA\\[0.5em]\large\therefore AB:BC:CA&\large=DE:EF:FD\end{align*}

が成り立つことがわかります。

このように、直線$l, m, n$が互いに平行でなくとも成り立つ場合があるため、上記の性質の逆は成り立たないことがわかります。

関連：平行線と線分の比の性質　①三角形を横切る1辺に平行な直線