.png)
\[\large AB:DE=BC:EF=CA:FD\]
が成り立ちます。
\[\large AB:BC:CA=DE:EF:FD\]
が成り立ちます。
これが成り立つことを確かめます。
まず、相似比について
\[AB:DE=BC:EF=CA:FD= m:n\]
とおきます。
$AB:DE=m:n$に着目すると
\begin{align*}m DE&=n
AB\\[0.5em]DE&=\frac{n}{m}AB\tag1\end{align*}
となります。同様にして$BC:EF= m:n, CA:FD= m:n$より
\begin{align*}EF&=\frac{n}{m}BC\tag2\\[1em]FD&=\frac{n}{m}CA\tag3\end{align*}
を得ます。
ここで、$△DEF$の3辺の比$DE:EF:FD$に$(1), (2), (3)$を代入すると
\begin{align*}DE:EF:FD&=\frac{n}{m}AB:\frac{n}{m}BC:\frac{n}{m}CA\\[0.5em]\large\therefore
AB:BC:CA&\large=DE:EF:FD\end{align*}
となり、それぞれの三角形の中での3辺の比が等しくなることがわかります。
なお、この連比は
これは、相似な図形は互いに拡大・縮小した関係であること、すなわち対応する各部分の長さを等倍している関係だからこそ成り立ちます。
\begin{gather*}\large AB:BC=DE:EF\\[1em]\large BC:CA=EF:FD\\[1em]\large
CA:AB=FD:DE\end{gather*}
が成り立つ、すなわちそれぞれの三角形の中での2辺の比に着目しても相似における対応関係にある辺の比同士は等しいことを表しています。
これは、相似な図形は互いに拡大・縮小した関係であること、すなわち対応する各部分の長さを等倍している関係だからこそ成り立ちます。
また、同じ内角の組をもつ直角三角形というのは互いに相似であるので、この性質により3辺の比はすべて等しくなります。
例えば$30°-60°-90°$の直角三角形であれば、どのような3辺の長さであってもその比は必ず$1:2:\sqrt{3}$となります。
(2026/1)内容を修正しました。
Share:
