「2次不等式x^2+mx-24<0のmを2<m<6の範囲で変化させたとき、2次不等式が常に成り立つxの値の範囲を求めよ。」
このような問題はどのように解けばよいでしょうか？
2次不等式が常に成り立つxの値の範囲とは、mが変化しても不等式の解となり続けるxの値の範囲を指します。
まずはこの2次不等式がmの値の変化によってどのようにxの値の範囲が変化するのかがわからないので、2次関数y=x^2+mx-24のグラフがmの値によってどのように変化するかを調べます。
この2次関数を平方完成すると
\begin{align*}y&=x^2+mx-24\\[0.5em]&=\left(x^2+mx+\frac{m^2}{4}\right)-\frac{m^2}{4}-24\\[0.5em]&=\left(x+\frac{m}{2}\right)^2-\frac{m^2}{4}-24\end{align*}
となるので、頂点の座標は\left(-\dfrac{m}{2},-\dfrac{m^2}{4}-24\right)であるとわかります。
このことから、2<m<6の範囲でmの値が増加すると頂点はx座標、y座標ともに負の方向（左下方向）へ移動します。
グラフの位置関係から2次不等式の解となり続けるxの値の範囲は、この2つの2次関数のy<0となるxの値の範囲の重なった部分であることがわかります。
次に、m=2,6それぞれの場合の2次不等式を解きます。
m=2のときの2次不等式を解くと、
\begin{align*}x^2+2x-24&<0\\[0.5em](x+6)(x-4)&<0\\[0.5em]-6<x<4\tag{a}\end{align*}
m=6のときの2次不等式を解くと
x^2+6x-24<0
ここでx^2+6x-24=0を解くと解の公式より
\begin{align*}x&=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot(-24)}}{2}\\[0.5em]&=\frac{-6\pm2\sqrt{33}}{2}\\[0.5em]&=-3\pm\sqrt{33}\end{align*}
なので、
-3-\sqrt{33}<x<-3+\sqrt{33}\tag{b}
\text{(a)}と\text{(b)}の重なる部分が問題の答えとなりますが、そもそも重なるのかがこのままだと判断できないので、各範囲の端となるxの値の大小関係を調べます。
\sqrt{33}は、
5=\sqrt{25}<\sqrt{33}<\sqrt{36}=6
なので
\begin{align*}-9<-3-\sqrt{33}<-8\\[0.5em]2<-3+\sqrt{33}<3\end{align*}
したがって、
-3-\sqrt{33}<-6<-3+\sqrt{33}<4
となります。
この大小関係より、求める答えは-6<x<-3+\sqrt{33}となります。
グラフで2つの2次関数と\text{(a),(b)}を表すと以下のようになります。
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