三角形の内角の二等分線の長さは？ ~ 数学について考えてみる

2022年1月22日

三角形の内角の二等分線の長さは？

PLUMBAGO

　上図のように

△ ABC

$△\text{ABC}$ に

∠ A

$∠\text{A}$ の二等分線

AP

$\text{AP}$ を引くと

BP : PC = AB : AC

$\text{BP}:\text{PC}=\text{AB}:\text{AC}$
という関係が成り立ちます。

ここで $∠\text{A}$ の二等分線 $\text{AP}$ の長さについて考えてみるとどのような関係が見えるのでしょうか？

△ ABC

$△\text{ABC}$ に

∠ A

$∠\text{A}$ の二等分線

AP

$\text{AP}$ を引き、

∠ BAP = ∠ PAC = θ

$∠\text{BAP}=∠\text{PAC}=θ$ とします。

△ ABP

$△\text{ABP}$ において余弦定理より

{BP}^{2} = {AB}^{2} + {AP}^{2} - 2 AB \cdot AP \cos θ

$\text{BP}^2=\text{AB}^2+\text{AP}^2-2\text{AB}\cdot \text{AP}\cos\theta$

が成り立ちます。これを

\cos θ

$\cosθ$ について解くと

\begin{aligned} 2 AB \cdot AP \cos θ & = {AB}^{2} + {AP}^{2} - {BP}^{2} \\ (1) & \cos θ & = \frac{{AB}^{2} + {AP}^{2} - {BP}^{2}}{2 AB \cdot AP} \end{aligned}

$\begin{align*}2\text{AB}\cdot \text{AP}\cos\theta&=\text{AB}^2+\text{AP}^2-\text{BP}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AB}^2+\text{AP}^2-\text{BP}^2}{2\text{AB}\cdot \text{AP}}\tag1\end{align*}$

となります。

△ ACP

$△\text{ACP}$ において余弦定理より

{CP}^{2} = {AC}^{2} + {AP}^{2} - 2 AC \cdot AP \cos θ

$\text{CP}^2=\text{AC}^2+\text{AP}^2-2\text{AC}\cdot \text{AP}\cos\theta$

が成り立ちます。これを

\cos θ

$\cosθ$ について解くと

\begin{aligned} 2 AC \cdot AP \cos θ & = {AC}^{2} + {AP}^{2} - {CP}^{2} \\ (2) & \cos θ & = \frac{{AC}^{2} + {AP}^{2} - {CP}^{2}}{2 AC \cdot AP} \end{aligned}

$\begin{align*}2\text{AC}\cdot \text{AP}\cos\theta&=\text{AC}^2+\text{AP}^2-\text{CP}^2\\[0.5em]\cos\theta&=\frac{\text{AC}^2+\text{AP}^2-\text{CP}^2}{2\text{AC}\cdot \text{AP}}\tag2\end{align*}$

となります。

(1), (2)

$(1), (2)$ より

\frac{\text{AB}^2+\text{AP}^2-\text{BP}^2}{2\text{AB}\cdot \text{AP}}&=\frac{\text{AC}^2+\text{AP}^2-\text{CP}^2}{2\text{AC}\cdot    \text{AP}}

$\frac{\text{AB}^2+\text{AP}^2-\text{BP}^2}{2\text{AB}\cdot \text{AP}}&=\frac{\text{AC}^2+\text{AP}^2-\text{CP}^2}{2\text{AC}\cdot \text{AP}}$

両辺に

2 AB \cdot AC \cdot AP

$2\text{AB}\cdot \text{AC}\cdot \text{AP}$ を掛けて

AC ({AB}^{2} + {AP}^{2} - {BP}^{2}) = AB ({AC}^{2} + {AP}^{2} - {CP}^{2})

$\text{AC}\bigl(\text{AB}^2+\text{AP}^2-\text{BP}^2\bigr)=\text{AB}\bigl(\text{AC}^2+\text{AP}^2-\text{CP}^2\bigr)$

展開して整理すると

(\text{AB-AC})\text{AP}^2&=(\text{AB-AC})\text{AB}\cdot \text{AC-AC}\cdot \text{BP}^2+\text{AB}\cdot \text{CP}^2

$(\text{AB-AC})\text{AP}^2&=(\text{AB-AC})\text{AB}\cdot \text{AC-AC}\cdot \text{BP}^2+\text{AB}\cdot \text{CP}^2$

ここで角の二等分線と比の性質

BP : PC = AB : AC

$\text{BP}:\text{PC}=\text{AB}:\text{AC}$ より

PC \cdot AB = BP \cdot AC

$\text{PC}\cdot \text{AB}=\text{BP}\cdot \text{AC}$

が成り立つので代入すると

\begin{aligned} (AB-AC) {AP}^{2} & = (AB-AC) AB \cdot AC-AB \cdot BP \cdot CP + AC \cdot BP \cdot CP \\ = (AB-AC) {AP}^{2} & = (AB-AC) AB \cdot AC- (AB-AC) BP \cdot CP \end{aligned}

$\begin{align*}(\text{AB-AC})\text{AP}^2&=(\text{AB-AC})\text{AB}\cdot \text{AC-AB}\cdot \text{BP}\cdot \text{CP}+\text{AC}\cdot \text{BP}\cdot \text{CP}\\[0.5em]&=(\text{AB-AC})\text{AP}^2&=(\text{AB-AC})\text{AB}\cdot \text{AC-}(\text{AB-AC})\text{BP}\cdot \text{CP}\end{align*}$

両辺を