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2022年1月7日

へこんでいる部分のある四角形の内角の和は何度?

凹四角形
図1 凹四角形
 四角形の内角の和は360°です。では、へこんでいる部分のある四角形(凹四角形)の内角の和も360°になるのでしょうか?

凹四角形の内角の和
図2 凹四角形の内角の和の導出
 図2のように凹四角形ABCDの凹部の頂点Cに隣接する頂点B, Dを線で結ぶと大きい三角形ABDと小さい三角形CBDができます。
凹四角形ABCDの内接の和は、ABDの内接の和から、CBD=α,CDB=βを引き、大きい方のBCDを加えることで求めることができます。
CBDの内角BCD
BCD=180°(α+β)
したがって、大きい方のBCD
BCDbig=360°{180°(α+β)}=180°+α+β
よって、凹四角形ABCDの内角の和は
180°(α+β)+BCDbig=180°(α+β)+(180°+α+β)=360°
であることがわかります。

 この方法を他の凹部のある多角形に対して使用しても、凹部のない多角形と内角の和が変わらないことがわかります。

対角線を引いて三角形に分割
図3 三角形に分割
 また、対角線を引いて2つの三角形に分割することでも内角の和が三角形の内角の和180°の2倍の360°であることがわかります。

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