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図1 凹四角形
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四角形の内角の和は
360°です。では、へこんでいる部分のある四角形(凹四角形)の内角の和も
360°になるのでしょうか?
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図2 凹四角形の内角の和の導出
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図2のように凹四角形
ABCDの凹部の頂点
Cに隣接する頂点
B, Dを線で結ぶと大きい三角形
ABDと小さい三角形
CBDができます。
凹四角形
ABCDの内接の和は、
△ABDの内接の和から、
∠CBD=α,∠CDB=βを引き、大きい方の
∠BCDを加えることで求めることができます。
△CBDの内角
∠BCDは
∠BCD=180°−(α+β)
したがって、大きい方の
∠BCDは
∠BCDbig=360°−{180°−(α+β)}=180°+α+β
よって、凹四角形
ABCDの内角の和は
180°−(α+β)+∠BCDbig=180°−(α+β)+(180°+α+β)=360°
であることがわかります。
この方法を他の凹部のある多角形に対して使用しても、凹部のない多角形と内角の和が変わらないことがわかります。
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図3 三角形に分割
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また、対角線を引いて2つの三角形に分割することでも内角の和が三角形の内角の和
180°の2倍の
360°であることがわかります。