鋭角の1つが15°の直角三角形の面積は？

図1　鋭角の1つが15°、斜辺の長さが12の直角三角形

「図1の△ABCの面積を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいでしょうか？

図2　△A'BCを追加

BCを対称軸として点Aに線対称な点A'をおき、△ABCに合同な△A'BCを描き加えます。

図3　△AA'CにADを引く

△AA'Cは$AC=A'C$で頂角$∠ACA'=30°$の二等辺三角形です。この三角形は等辺の長さがわかっていれば面積を求めることができる三角形です。

点AからA'Cに対して垂線をおろし、A'Cとの交点をDとします。A'Cを底辺とするとADは高さとなるので、ADの長さがわかれば△AA'Cの面積を求めることができます。

図4　△ACD

ここで、△ACDに着目すると$∠ACD=30°,∠CAD=60°$の直角三角形なので、$AC:AD=2:1$となります。$AC=12$なので、

\begin{align*}12:AD&=2:1\\ 2AD&=12\\ \\ AD&=6\end{align*}

であるとわかります。

したがって、△AA'Cの面積は

\begin{align*}△AA'C&=\frac{1}{2}A'C\cdot AD\\ \\ &=\frac{1}{2}AC\cdot AD\\ \\ &=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6=\underline{36}\end{align*}

△ABCの面積は△AA'Cの面積の半分なので

\begin{align*}△ABC&=\frac{1}{2}△AA'C\\ \\ &=\frac{1}{2}\cdot 36=\underline{18}\end{align*}

となります。