交差したはしごの問題（Crossed ladders problem）の高さの関係 ~ 数学について考えてみる

2022年1月23日

交差したはしごの問題（Crossed ladders problem）の高さの関係

PLUMBAGO

　日本語版がないWikipediaの"Crossed ladders problem"にある高さの関係について調べてみました。

図1　交差したはしごの高さ

　直角三角形ABCとBCを共有する直角三角形DBCがあります。ACとDBの交点EからBCに垂線をおろし、BCとの交点をFとします。
このときAB、DC、EFの長さをそれぞれ $a,b,h$ とすると以下のような関係があります。
$\frac{1}{h}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

なぜこのような関係が成り立つのでしょうか？

　図1のBC、FC、BFの長さを

l, l_{1}, l_{2}

$l,l_1,l_2$ とし、△ABCと△EFCについて考えます。

図2　△ABCと△EFC

この2つの三角形は相似なので、それぞれの三角形の2辺の比は等しくなります。

\begin{matrix} l : a = l_{1} : h \\ (1) \end{matrix}

$\begin{equation}l:a=l_1:h\end{equation}$

次に△DBCと△EBFについて考えます。

図3　△DBCと△EBF

この2つの三角形も相似なので、それぞれの三角形の2辺の比は等しくなります。

\begin{matrix} l : b = l_{2} : h \\ (2) \end{matrix}

$\begin{equation}l:b=l_2:h\end{equation}$

　(1)、(2)を比の値にすると

\begin{matrix} \begin{matrix} (1) \frac{l}{a} & = \frac{l_{1}}{h} \end{matrix} \begin{matrix} (2) \frac{l}{b} & = \frac{l_{2}}{h} \end{matrix} \\ (3) (4) \end{matrix}

$\begin{align}\begin{aligned}(1)\\ \frac{l}{a}&=\frac{l_1}{h}\end{aligned}\\ \begin{aligned}(2)\\ \frac{l}{b}&=\frac{l_2}{h}\end{aligned}\end{align}$

(3)と(4)を足して

\begin{matrix} \frac{l}{a} + \frac{l}{b} & = \frac{l_{1}}{h} + \frac{l_{2}}{h} = \frac{l_{1} + l_{2}}{h} \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{l}{a}+\frac{l}{b}&=\frac{l_1}{h}+\frac{l_2}{h}\\ \\ &=\frac{l_1+l_2}{h}\end{align*}$

ここで、

l = l_{1} + l_{2}

$l=l_1+l_2$ なので

\frac{l}{a} + \frac{l}{b} = \frac{l}{h}

$\frac{l}{a}+\frac{l}{b}=\frac{l}{h}$

両辺を

l

$l$ で割って左右を入れ替えれば

\begin{matrix} \frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \\ (5) \end{matrix}

$\begin{equation}\large{\frac{1}{h}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\end{equation}$

を導くことができました。

　BCを共通する底辺としたとき、

a

$a$ を高さとする三角形は△ABC、

b

$b$ を高さとする三角形は△DBC、

h

$h$ を高さとする三角形は△EBCであることを踏まえ、(5)の両辺を

\frac{1}{2} l

$\dfrac{1}{2}l$ で割ると

\begin{matrix} \frac{1}{△ E B C} = \frac{1}{△ A B C} + \frac{1}{△ D B C} \\ (6) \end{matrix}

$\begin{equation}\frac{1}{△EBC}=\frac{1}{△ABC}+\frac{1}{△DBC}\end{equation}$

が成り立ちます。

図4　高さが不明な場合

また、図4のようにAB、DC、EFがBCに垂直でないものの平行である場合でも(5)は成り立ちます。△ABC、△DBC、△EBCの高さは $a,b,h$ に比例するため(6)も成り立ちます。

　Wikipediaの同ページに"Extended crossed ladders theorem（拡張した交差したはしごの定理）"という項目があります。

図5　拡張した交差したはしごの定理

図5のように△ABCに頂点CからABへ線を引きその交点をD、頂点BからACへ線を引きその交点をEとし、CD、BEの交点をFとしたとき、以下のような関係があります。

\frac{1}{△ A B C} + \frac{1}{△ F B C} = \frac{1}{△ D B C} + \frac{1}{△ E B C}

$\frac{1}{△ABC}+\frac{1}{△FBC}=\frac{1}{△DBC}+\frac{1}{△EBC}$

これを(5)の証明と同様な流れで示すことができます。

図6　各垂線と底辺の長さ

点D、F、E、AからBCへ垂線をおろし、BCとの交点をそれぞれP、Q、R、Sとします。
各垂線の長さは $DP=a,ER=b,FQ=h,AS=H$ とし、 $BC=l$ として各線分の長さを $QC=l_1,PC=l_2,BQ=l_3,BR=l_4,BP=l_5,BS=l_6,RC=l_7,SC=l_8$ とします。
ごちゃごちゃしているので図6にまとめました。

△DPCと△FQCについて考えます。

図7　△DPCと△FQC

これら三角形は相似なので、2辺の比は等しくなります。

\begin{matrix} l_{1} : h = l_{2} : a \\ (7) \end{matrix}

$\begin{equation}l_1:h=l_2:a\end{equation}$

次は△EBRと△FBQについて考えます。

図8　△EBRと△FBQ

これら三角形は相似なので、2辺の比は等しくなります。

\begin{matrix} l_{3} : h = l_{4} : b \\ (8) \end{matrix}

$\begin{equation}l_3:h=l_4:b\end{equation}$

△ABSと△DBPについて考えます。

図9　△ABSと△DBP

これら三角形は相似なので、2辺の比は等しくなります。

\begin{matrix} l_{6} : H = l_{5} : a \\ (9) \end{matrix}

$\begin{equation}l_6:H=l_5:a\end{equation}$

△ASCと△ERCについて考えます。

図10　△ASCと△EQC

これら三角形は相似なので、2辺の比は等しくなります。

\begin{matrix} l_{8} : H = l_{7} : b \\ (10) \end{matrix}

$\begin{equation}l_8:H=l_7:b\end{equation}$

(7)、(8)、(9)、(10)を比の値にすると

\begin{matrix} \begin{matrix} (7) \frac{l_{1}}{h} & = \frac{l_{2}}{a} \end{matrix} \begin{matrix} (8) \frac{l_{3}}{h} & = \frac{l_{4}}{b} \end{matrix} \begin{matrix} (9) \frac{l_{6}}{H} & = \frac{l_{5}}{a} \end{matrix} \begin{matrix} (10) \frac{l_{8}}{H} & = \frac{l_{7}}{b} \end{matrix} \\ (11) (12) (13) (14) \end{matrix}

$\begin{align}\begin{aligned}(7)\\ \frac{l_1}{h}&=\frac{l_2}{a}\end{aligned}\\ \begin{aligned}(8)\\ \frac{l_3}{h}&=\frac{l_4}{b}\end{aligned}\\ \begin{aligned}(9)\\ \frac{l_6}{H}&=\frac{l_5}{a}\end{aligned}\\ \begin{aligned}(10)\\ \frac{l_8}{H}&=\frac{l_7}{b}\end{aligned}\end{align}$

(11)、(12)、(13)、(14)を足すと

\begin{matrix} \frac{l_{1}}{h} + \frac{l_{3}}{h} + \frac{l_{6}}{H} + \frac{l_{8}}{H} & = \frac{l_{2}}{a} + \frac{l_{4}}{b} + \frac{l_{5}}{a} + \frac{l_{7}}{b} \frac{l_{6} + l_{8}}{H} + \frac{l_{1} + l_{3}}{h} & = \frac{l_{2} + l_{5}}{a} + \frac{l_{4} + l_{7}}{b} \end{matrix}

$\begin{align*}\frac{l_1}{h}+\frac{l_3}{h}+\frac{l_6}{H}+\frac{l_8}{H}&=\frac{l_2}{a}+\frac{l_4}{b}+\frac{l_5}{a}+\frac{l_7}{b}\\ \\ \frac{l_6+l_8}{H}+\frac{l_1+l_3}{h}&=\frac{l_2+l_5}{a}+\frac{l_4+l_7}{b}\end{align*}$

図6より