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2022年1月10日

sin21°、cos21°、tan21°はどんな数?

sin21°、cos21°、tan21°

 21° (=7π60)のときの三角関数がどんな式で表されるのかを調べてみました。

sin21°

 sinの加法定理より
sin21°=sin(36°15°)=sin36°cos15°cos36°sin15°
sin36°=10254cos36°=5+14sin15°=624cos15°=6+24
なので
sin21°=102546+245+14624(a)=2{(3+1)1025(5+1)(31)}16=2(3+1)2(1025)30+106+216=220+1034521530+106+216_

cos21°

 cosの加法定理より
cos21°=cos(36°15°)=cos36°cos15°+sin36°sin15°=5+146+24+10254624(b)=2{(5+1)(3+1)+(31)1025}16=2(31)2(1025)+30+10+6+216=22010345+215+30+10+6+216_

tan21°

 三角関数の相互関係
tanθ=sinθcosθ
より、(a),(b)を代入して
tan21°=sin21°cos21°=2{(3+1)1025(5+1)(31)}162{(5+1)(3+1)+(31)1025}16=(3+1)1025(5+1)(31)(5+1)(3+1)+(31)1025×(5+1)(3+1)(31)1025(5+1)(3+1)(31)1025=(5+1)102542(23+51)×23(51)23(51)=(15+32)1025243+252(3+5)×3535=(15+533)1025863+45+2154=(15+533)2(1025)863+45+2154=110+6034652815433+25+152_

 それぞれの近似値は以下のようになります。
sin21°=0.35837cos21°=0.93358tan21°=0.38386

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