$24°\ (=\dfrac{2\pi}{15})$のときの三角関数がどんな式になるのかを調べてみました。
$\sin24°$
$\sin$の加法定理より
\begin{align*}\sin24°&=\sin(60°-36°)\\[0.5em]&=\sin60°\cos36°-\cos60°\sin36°\end{align*}
ここで
\begin{align*}\sin60°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\\[1em]\cos60°&=\frac{1}{2}\end{align*}
\begin{align*}\sin36°&=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[1em]\cos36°&=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\end{align*}
なので
\begin{align*}\sin24°&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}\tag{a}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}}\end{align*}
$\cos24°$
$\cos$の加法定理より
\begin{align*}\cos24°&=\cos(60°-36°)\\[0.5em]&=\cos60°\cos36°+\sin60°\sin36°\\[0.5em]&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}\tag{b}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8}}\end{align*}
$\tan24°$
三角関数の相互関係
\[tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\]
より、$\text{(a),(b)}$を代入して
\begin{align*}\tan24°&=\frac{\sin24°}{\cos24°}\\[0.5em]&=\frac{\cfrac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}}{\cfrac{\sqrt{5}+1+\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{8}}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{(\sqrt{5}+1)+\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}\\
&\qquad×\frac{\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)}{\sqrt{3}\sqrt{10-2\sqrt{5}}-(\sqrt{5}+1)}\\[0.5em]&=\frac{(\sqrt{5}+1)\sqrt{10-2\sqrt{5}}-4\sqrt{3}}{2(3-\sqrt{5})}×\frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\\[0.5em]&=\frac{(2+\sqrt{5})\sqrt{10-2\sqrt{5}}-\sqrt{15}-3\sqrt{3}}{2}\\[0.5em]&=\frac{\sqrt{(2+\sqrt{5})^2(10-2\sqrt{5})}-\sqrt{15}-3\sqrt{3}}{2}\\[0.5em]&=\underline{\frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}-\sqrt{15}-3\sqrt{3}}{2}}\end{align*}
それぞれの近似値は以下のようになります。
\begin{align*}\sin24°&=0.40674\\[1em]\cos24°&=0.91355\\[1em]\tan24°&=0.44523\end{align*}
(2022/8)tan24°の式中の誤りを修正しました。
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