方べきの定理はなぜ成り立つ？ ~ 数学について考えてみる

2022年1月6日

PLUMBAGO

　なぜ方べきの定理が成り立つのか調べてみました。

　方べきの定理とは、円の2本の弦$AB,CD$、またはそれらの延長の交点$P$から円周上の各点の距離の関係を表した定理で、上図の$\mathrm{(a),(b)}$の場合は、

\[AP\cdot BP=CP\cdot DP\]

が成り立ちます。

上図$\mathrm{(c)}$のように接線$AP$と弦$BC$の延長が点$P$で交わっている場合は

\[{AP}^2=BP\cdot CP\]

が成り立ちます。

　これらが成立することを証明してみます。

　$AC,BD$を引き、$△PAC$と$△PDB$について考えます。

円周角の定理より

\begin{align*}\angle PAC&=\angle PDB\\[1em] \angle PCA&=\angle PBD\end{align*}

2組の角がそれぞれ等しいので$△PAC$と$△PDB$は相似であることがわかります。

その相似比より$AP:DP=CP:BP$が成り立つ、すなわち

\[AP\cdot BP=CP\cdot DP\]

が成り立つことがわかります。

　$AC,BD$を引き、$△PAC$と$△PDB$について考えます。

円に内接する四角形の対角の性質より

\begin{align*}\angle PAC&=\angle PDB\\[1em] \angle PCA&=\angle PBD\end{align*}

2組の角がそれぞれ等しいので、$△PAC$と$△PDB$は相似であることがわかります。

その相似比より$AP:DP=CP:BP$が成り立つ、すなわち

\[AP\cdot BP=CP\cdot DP\]

が成り立つことがわかります。

　$AB,AC$を引き、$△PAB$と$△PCA$について考えます。

共通な角なので、$∠APB=∠CPA$です。
接弦定理より$∠PAB=∠PCA$です。
2組の角がそれぞれ等しいので$△PAB$と$△PCA$は相似であることがわかります。

その相似比より$AP:CP=BP:AP$が成り立つ、すなわち

\[AP^2=BP\cdot CP\]

が成り立つことがわかります。

以上より方べきの定理が成立することがわかりました。

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