方べきの定理はなぜ成り立つ？

　なぜ方べきの定理が成り立つのか調べてみました。

　方べきの定理とは、円の2本の弦$\text{AB, CD}$、またはそれらの延長の交点$\text{P}$から円周上の各点の距離の関係を表した定理で、上図の$\text{(a), (b)}$の場合は、

$$\large \text{AP}\cdot\text{BP}=\text{CP}\cdot\text{DP}$$

が成り立ちます。

上図$\text{(c)}$のように接線$\text{AP}$と弦$\text{BC}$の延長が点$\text{P}$で交わっている場合は

$$\large{\text{AP}}^2=\text{BP}\cdot\text{CP}$$

が成り立ちます。

　これらが成立することを証明してみます。

$\text{(a)}$

　$\text{AC, BD}$を引き、$△\text{PAC}$と$△\text{PDB}$について考えます。

円周角の定理より

$$\begin{align*}∠\text{PAC}&=∠\text{PDB}\\[1em]∠\text{PCA}&=∠ \text{PBD}\end{align*}$$

2組の角がそれぞれ等しいので$△\text{PAC}$と$△\text{PDB}$は相似であることがわかります。

その相似比より$\text{AP}:\text{DP}=\text{CP}:\text{BP}$が成り立つ、すなわち

$$\text{AP}\cdot\text{BP}=\text{CP}\cdot\text{DP}$$

が成り立つことがわかります。

関連：円周角の定理　なぜ成り立つのか？

$\text{(b)}$

　$\text{AC, BD}$を引き、$△\text{PAC}$と$△\text{PDB}$について考えます。

円に内接する四角形の対角の性質より

$$\begin{align*}∠\text{PAC}&=∠\text{PDB}\\[1em] ∠\text{PCA}&=∠ \text{PBD}\end{align*}$$

2組の角がそれぞれ等しいので、$△\text{PAC}$と$△\text{PDB}$は相似であることがわかります。

その相似比より$\text{AP}:\text{DP}=\text{CP}:\text{BP}$が成り立つ、すなわち

$$\text{AP}\cdot\text{BP}=\text{CP}\cdot\text{DP}$$

が成り立つことがわかります。

関連：円に内接する四角形の対角

$\text{(c)}$

　$\text{AB, AC}$を引き、$△\text{PAB}$と$△\text{PCA}$について考えます。

共通な角なので、$∠\text{APB}=∠\text{CPA}$です。
接弦定理より$∠\text{PAB}=∠\text{PCA}$です。
2組の角がそれぞれ等しいので$△\text{PAB}$と$△\text{PCA}$は相似であることがわかります。

その相似比より$\text{AP}:\text{CP}=\text{BP}:\text{AP}$が成り立つ、すなわち

$$\text{AP}^2=\text{BP}\cdot\text{CP}$$

が成り立つことがわかります。

関連：接線と弦のつくる角（接弦定理）

以上より方べきの定理が成立することがわかりました。

関連：方べきの定理の逆は成り立つ？

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