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2023年9月22日

方べきの定理の逆は成り立つ?

方べきの定理
 方べきの定理とは

\textbf{(a), (b)}: 2本の弦\text{AB, CD}、またはそれらの延長が点\text{P}で交わるとき、\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}が成り立つ。

\textbf{(c)}:\text{A}を通る接線と弦\text{BC}の延長が点\text{P}で交わるとき、\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}が成り立つ。

という定理のことです。

では、方べきの定理の逆とはどういったものとなり、それは成り立つでしょうか?


 方べきの定理は次のように書き換えることができます。

\textbf{(a), (b)}:\text{P}で交わる2直線l,mのうち直線l上にとった点\text{A, B}と直線m上にとった点\text{C, D}について、4点\text{A, B, C, D}が同一円周上にあるならば\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}が成り立つ。

\textbf{(c)}:\text{P}で交わる2直線l,mのうち直線l上にとった点\text{A}、直線m上にとった点\text{B, C}について、直線\text{AP}\ (l)が3点\text{A, B, C}を通る円の接線ならば\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}が成り立つ。

すると、方べきの定理の逆は以下のようになります。

\textbf{(a), (b)の逆}:\text{P}で交わる2直線l,mのうち直線l上にとった点\text{A, B}と直線m上にとった点\text{C, D}について、\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}が成り立つならば4点\text{A, B, C, D}は同一円周上にある。

\textbf{(c)の逆}:\text{P}で交わる2直線l,mのうち直線l上にとった点\text{A}、直線m上にとった点\text{B, C}について、\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}が成り立つならば直線\text{AP}\ (l)は3点\text{A, B, C}を通る円の接線となる。

これらが成り立つことを確かめてみます。

\text{(a)}の逆

方べきの定理の逆1
 \text{(a)}の逆は直線l上の点\text{A, B}、直線 m上の点\text{C, D}はそれぞれ点\text{P}$に関して互いに反対側にある場合です。
△\text{ACP}△\text{DBP}に着目します。
  • 仮定より\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}
  • これの両辺を\text{BP}\cdot \text{DP}で割り、変形すると
    \begin{align*}\frac{\text{AP}\cdot \text{BP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}&=\frac{\text{CP}\cdot \text{DP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{DP}}&=\frac{\text{CP}}{\text{BP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{DP}&=\text{CP}:\text{DP}\tag1\end{align*}
  • 対頂角より
    ∠\text{APC}=∠\text{DPB}\tag2
(1), (2)より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので△\text{ACP}△\text{DBP}は相似であることがわかります。
このことから∠\text{CAP}=∠\text{BDP}が成り立ちます。

これらの角は直線\text{BC}に関して同じ側にある角なので、円周角の定理の逆より4点\text{A, B, C, D}は同一円周上にあることがわかります。
したがって、\text{(a)}の逆が成り立つことがわかります。


\text{(b)}の逆

方べきの定理の逆2
 \text{(b)}の逆は直線l上の点\text{A, B}、直線 m上の点\text{C, D}はそれぞれ点\text{P}$に関して同じ側にある場合です。
△\text{ACP}△\text{DBP}に着目します。
  • 仮定より\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}
  • これの両辺を\text{BP}\cdot \text{DP}で割り、変形すると
    \begin{align*}\frac{\text{AP}\cdot \text{BP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}&=\frac{\text{CP}\cdot \text{DP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{DP}}&=\frac{\text{CP}}{\text{BP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{DP}&=\text{CP}:\text{DP}\tag3\end{align*}
  • 共通の角より
    ∠\text{APC}=∠\text{DPB}\tag4
(3),(4)より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので△\text{ACP}△\text{DBP}は相似であることがわかります。
このことから
∠\text{CAP}=∠\text{BDP}\tag5
が成り立ちます。
ここで、∠\text{BAC}について考えると、(5)より
\begin{align*}∠\text{BAC}&=180°-∠\text{CAP}\\[0.5em]\therefore∠\text{BAC}&=180°-∠\text{BDP}\tag6\end{align*}
四角形\text{ABDC}の対角の組∠\text{BAC},∠\text{BDC}について、(6)より
\begin{align*}∠\text{BAC}+∠\text{BDC}&=∠\text{BAC}+∠\text{BDP}\\[0.5em]&=(180°-∠\text{BDP})+∠\text{BDP}\\[0.5em]&=180°\end{align*}
なので、円に内接する四角形の対角の性質の逆より4点\text{A, B, C, D}は同一円周上にあることがわかります。
したがって、\text{(b)}の逆が成り立つことがわかります。

\text{(c)}の逆

方べきの定理の逆3
 △\text{ABP}△\text{ACP}に着目します。
  • 仮定より\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}
  • これの両辺を\text{AP}\cdot \text{CP}で割り、変形すると
    \begin{align*}\frac{\text{AP}^2}{\text{AP}\cdot \text{CP}}&=\frac{\text{BP}\cdot \text{CP}}{\text{AP}\cdot \text{CP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{CP}}&=\frac{\text{BP}}{\text{AP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{CP}&=\text{BP}:\text{AP}\tag7\end{align*}
  • 共通の角より
    ∠\text{APB}=∠\text{CPA}\tag8
(7),(8)より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので△\text{ABP}△\text{ACP}は相似であることがわかります。
このことから
∠\text{BAP}=∠\text{APC}\tag9
が成り立ちます。

△\text{ABC}(9)に着目すれば接弦定理の逆より直線\text{AP}は3点\text{A, B, C}を通る円の接線となることがわかります。
したがって、\text{(c)}の逆が成り立つことがわかります。


 以上より、\text{(a), (b), (c)}いずれの場合でも方べきの定理の逆が成り立つことがわかります。

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