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(a),(b): 2本の弦$AB,CD$、またはそれらの延長が点$P$で交わるとき、$AP\cdot BP=CP\cdot
DP$が成り立つ。
(c): 点$A$を通る接線と弦$BC$の延長が点$P$で交わるとき、$AP^2=BP\cdot
CP$が成り立つ。
という定理のことです。
では、方べきの定理の逆とはどういったものとなり、それは成り立つでしょうか？
方べきの定理は次のように書き換えることができます。
(a),(b): 点$P$で交わる2直線$l,m$のうち直線$l$上にとった点$A,B$と直線$m$上にとった点$C,D$について、4点$A,B,C,D$が同一円周上にあるならば$AP\cdot
BP=CP\cdot DP$が成り立つ。
(c): 点$P$で交わる2直線$\mathcal
l,m$のうち直線$l$上にとった点$A$、直線$m$上にとった点$B,C$について、直線$AP\
(l)$が3点$A,B,C$を通る円の接線ならば$AP^2=BP\cdot CP$が成り立つ。
すると、方べきの定理の逆は以下のようになります。
(a),(b)の逆: 点$P$で交わる2直線$l,m$のうち直線$l$上にとった点$A,B$と直線$m$上にとった点$C,D$について、$AP\cdot
BP=CP\cdot DP$が成り立つならば4点$A,B,C,D$は同一円周上にある。
(c)の逆: 点$P$で交わる2直線$l,m$のうち直線$l$上にとった点$A$、直線$m$上にとった点$B,C$について、$AP^2=BP\cdot
CP$が成り立つならば直線$AP\ (l)$は3点$A,B,C$を通る円の接線となる。
これらが成り立つことを確かめてみます。
$\mathrm{(a)}$の逆
$△ACP$と$△DBP$に着目します。
仮定より$AP\cdot BP=CP\cdot DP$
これの両辺を$BP\cdot DP$で割り、変形すると
これの両辺を$BP\cdot DP$で割り、変形すると
\begin{align*}\frac{AP\cdot BP}{BP\cdot DP}&=\frac{CP\cdot
DP}{BP\cdot
DP}\\[0.5em]\frac{AP}{DP}&=\frac{CP}{BP}\\[0.5em]\therefore
AP:DP&=CP:DP\tag1\end{align*}
対頂角より
\[∠APC=∠DPB\tag2\]
$(1),(2)$より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので$△ACP$と$△DBP$は相似であることがわかります。
このことから$∠CAP=∠BDP$が成り立ちます。
これらの角は直線$BC$に関して同じ側にある角なので、円周角の定理の逆より4点$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。
したがって、$\mathrm{(a)}$の逆が成り立つことがわかります。
$\mathrm{(b)}$の逆
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$△ACP$と$△DBP$に着目します。
仮定より$AP\cdot BP=CP\cdot DP$
これの両辺を$BP\cdot DP$で割り、変形すると
これの両辺を$BP\cdot DP$で割り、変形すると
\begin{align*}\frac{AP\cdot BP}{BP\cdot DP}&=\frac{CP\cdot
DP}{BP\cdot
DP}\\[0.5em]\frac{AP}{DP}&=\frac{CP}{BP}\\[0.5em]\therefore
AP:DP&=CP:DP\tag3\end{align*}
共通の角より
\[∠APC=∠DPB\tag4\]
$(3),(4)$より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので$△ACP$と$△DBP$は相似であることがわかります。
このことから
\[∠CAP=∠BDP\tag5\]
が成り立ちます。
ここで、$∠BAC$について考えると、$(5)$より
\begin{align*}∠BAC&=180°-∠CAP\\[0.5em]\therefore∠BAC&=180°-∠BDP\tag6\end{align*}
四角形$ABDC$の対角の組$∠BAC,∠BDC$について、$(6)$より
したがって、$\mathrm{(b)}$の逆が成り立つことがわかります。
\begin{align*}∠BAC+∠BDC&=∠BAC+∠BDP\\[0.5em]&=(180°-∠BDP)+∠BDP\\[0.5em]&=180°\end{align*}
なので、円に内接する四角形の対角の性質の逆より4点$A,B,C,D$は同一円周上にあることがわかります。
$\mathrm{(c)}$の逆
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仮定より$AP^2=BP\cdot CP$
これの両辺を$AP\cdot CP$で割り、変形すると
これの両辺を$AP\cdot CP$で割り、変形すると
\begin{align*}\frac{AP^2}{AP\cdot CP}&=\frac{BP\cdot CP}{AP\cdot
CP}\\[0.5em]\frac{AP}{CP}&=\frac{BP}{AP}\\[0.5em]\therefore
AP:CP&=BP:AP\tag7\end{align*}
共通の角より
\[∠APB=∠CPA\tag8\]
$(7),(8)$より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので$△ABP$と$△ACP$は相似であることがわかります。
このことから
\[∠BAP=∠APC\tag9\]
が成り立ちます。
$△ABC$と$(9)$に着目すれば接弦定理の逆より直線$AP$は3点$ABC$を通る円の接線となることがわかります。
したがって、$\mathrm{(c)}$の逆が成り立つことがわかります。
以上より、$\mathrm{(a),(b),(c)}$いずれの場合でも方べきの定理の逆が成り立つことがわかります。
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