\textbf{(a), (b)}: 2本の弦\text{AB, CD}、またはそれらの延長が点\text{P}で交わるとき、\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}が成り立つ。
\textbf{(c)}: 点\text{A}を通る接線と弦\text{BC}の延長が点\text{P}で交わるとき、\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}が成り立つ。
では、方べきの定理の逆とはどういったものとなり、それは成り立つでしょうか?
\textbf{(a), (b)}: 点\text{P}で交わる2直線l,mのうち直線l上にとった点\text{A, B}と直線m上にとった点\text{C, D}について、4点\text{A, B, C, D}が同一円周上にあるならば\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}が成り立つ。
\textbf{(c)}: 点\text{P}で交わる2直線l,mのうち直線l上にとった点\text{A}、直線m上にとった点\text{B, C}について、直線\text{AP}\ (l)が3点\text{A, B, C}を通る円の接線ならば\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}が成り立つ。
\textbf{(a), (b)の逆}: 点\text{P}で交わる2直線l,mのうち直線l上にとった点\text{A, B}と直線m上にとった点\text{C, D}について、\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}が成り立つならば4点\text{A, B, C, D}は同一円周上にある。
\textbf{(c)の逆}: 点\text{P}で交わる2直線l,mのうち直線l上にとった点\text{A}、直線m上にとった点\text{B, C}について、\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}が成り立つならば直線\text{AP}\ (l)は3点\text{A, B, C}を通る円の接線となる。
\text{(a)}の逆
- 仮定より\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}
-
これの両辺を\text{BP}\cdot \text{DP}で割り、変形すると
\begin{align*}\frac{\text{AP}\cdot \text{BP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}&=\frac{\text{CP}\cdot \text{DP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{DP}}&=\frac{\text{CP}}{\text{BP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{DP}&=\text{CP}:\text{DP}\tag1\end{align*}
-
対頂角より
∠\text{APC}=∠\text{DPB}\tag2
これらの角は直線\text{BC}に関して同じ側にある角なので、円周角の定理の逆より4点\text{A, B, C, D}は同一円周上にあることがわかります。
したがって、\text{(a)}の逆が成り立つことがわかります。
\text{(b)}の逆
- 仮定より\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}
-
これの両辺を\text{BP}\cdot \text{DP}で割り、変形すると
\begin{align*}\frac{\text{AP}\cdot \text{BP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}&=\frac{\text{CP}\cdot \text{DP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{DP}}&=\frac{\text{CP}}{\text{BP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{DP}&=\text{CP}:\text{DP}\tag3\end{align*}
-
共通の角より
∠\text{APC}=∠\text{DPB}\tag4
したがって、\text{(b)}の逆が成り立つことがわかります。
\text{(c)}の逆
- 仮定より\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}
-
これの両辺を\text{AP}\cdot \text{CP}で割り、変形すると
\begin{align*}\frac{\text{AP}^2}{\text{AP}\cdot \text{CP}}&=\frac{\text{BP}\cdot \text{CP}}{\text{AP}\cdot \text{CP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{CP}}&=\frac{\text{BP}}{\text{AP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{CP}&=\text{BP}:\text{AP}\tag7\end{align*}
-
共通の角より
∠\text{APB}=∠\text{CPA}\tag8
△\text{ABC}と(9)に着目すれば接弦定理の逆より直線\text{AP}は3点\text{A, B, C}を通る円の接線となることがわかります。
したがって、\text{(c)}の逆が成り立つことがわかります。