方べきの定理の逆は成り立つ？ ~ 数学について考えてみる

　方べきの定理とは

$\textbf{(a), (b)}:$ 2本の弦 $\text{AB, CD}$ 、またはそれらの延長が点 $\text{P}$ で交わるとき、 $\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$ が成り立つ。

$\textbf{(c)}:$ 点 $\text{A}$ を通る接線と弦 $\text{BC}$ の延長が点 $\text{P}$ で交わるとき、 $\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$ が成り立つ。

という定理のことです。

では、方べきの定理の逆とはどういったものとなり、それは成り立つでしょうか？

　方べきの定理は次のように書き換えることができます。

$\textbf{(a), (b)}:$ 点 $\text{P}$ で交わる2直線 $l,m$ のうち直線 $l$ 上にとった点 $\text{A, B}$ と直線 $m$ 上にとった点 $\text{C, D}$ について、4点 $\text{A, B, C, D}$ が同一円周上にあるならば $\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$ が成り立つ。

$\textbf{(c)}:$ 点 $\text{P}$ で交わる2直線 $l,m$ のうち直線 $l$ 上にとった点 $\text{A}$ 、直線 $m$ 上にとった点 $\text{B, C}$ について、直線 $\text{AP}\ (l)$ が3点 $\text{A, B, C}$ を通る円の接線ならば $\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$ が成り立つ。

すると、方べきの定理の逆は以下のようになります。

$\textbf{(a), (b)の逆}:$ 点 $\text{P}$ で交わる2直線 $l,m$ のうち直線 $l$ 上にとった点 $\text{A, B}$ と直線 $m$ 上にとった点 $\text{C, D}$ について、 $\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$ が成り立つならば4点 $\text{A, B, C, D}$ は同一円周上にある。

$\textbf{(c)の逆}:$ 点 $\text{P}$ で交わる2直線 $l,m$ のうち直線 $l$ 上にとった点 $\text{A}$ 、直線 $m$ 上にとった点 $\text{B, C}$ について、 $\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$ が成り立つならば直線 $\text{AP}\ (l)$ は3点 $\text{A, B, C}$ を通る円の接線となる。

これらが成り立つことを確かめてみます。

$\text{(a)}$ の逆

(a)

$\text{(a)}$ の逆は直線

l

$l$ 上の点

A, B

$\text{A, B}$ 、直線

上 の 点

$上の点$ \text{C, D}

$はそれぞれ点$ \text{P}$に関して互いに反対側にある場合です。

$△\text{ACP}$ と

$△\text{DBP}$ に着目します。

仮定より $\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$
これの両辺を $\text{BP}\cdot \text{DP}$ で割り、変形すると
$\begin{align*}\frac{\text{AP}\cdot \text{BP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}&=\frac{\text{CP}\cdot \text{DP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{DP}}&=\frac{\text{CP}}{\text{BP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{DP}&=\text{CP}:\text{DP}\tag1\end{align*}$
対頂角より
$∠\text{APC}=∠\text{DPB}\tag2$

$(1), (2)$ より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので

$△\text{ACP}$ と

$△\text{DBP}$ は相似であることがわかります。

このことから

$∠\text{CAP}=∠\text{BDP}$ が成り立ちます。

これらの角は直線 $\text{BC}$ に関して同じ側にある角なので、円周角の定理の逆より4点 $\text{A, B, C, D}$ は同一円周上にあることがわかります。
したがって、 $\text{(a)}$ の逆が成り立つことがわかります。

$\text{(b)}$ の逆

$\text{(b)}$ の逆は直線

$l$ 上の点

$\text{A, B}$ 、直線

$上の点$ \text{C, D}

$はそれぞれ点$ \text{P}$に関して同じ側にある場合です。

$△\text{ACP}$ と

$△\text{DBP}$ に着目します。

仮定より $\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$
これの両辺を $\text{BP}\cdot \text{DP}$ で割り、変形すると
$\begin{align*}\frac{\text{AP}\cdot \text{BP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}&=\frac{\text{CP}\cdot \text{DP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{DP}}&=\frac{\text{CP}}{\text{BP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{DP}&=\text{CP}:\text{DP}\tag3\end{align*}$
共通の角より
$∠\text{APC}=∠\text{DPB}\tag4$

$(3),(4)$ より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので

$△\text{ACP}$ と

$△\text{DBP}$ は相似であることがわかります。

このことから

$∠\text{CAP}=∠\text{BDP}\tag5$

が成り立ちます。

ここで、

$∠\text{BAC}$ について考えると、

$(5)$ より

$\begin{align*}∠\text{BAC}&=180°-∠\text{CAP}\\[0.5em]\therefore∠\text{BAC}&=180°-∠\text{BDP}\tag6\end{align*}$

四角形

$\text{ABDC}$ の対角の組

$∠\text{BAC},∠\text{BDC}$ について、

$(6)$ より

$\begin{align*}∠\text{BAC}+∠\text{BDC}&=∠\text{BAC}+∠\text{BDP}\\[0.5em]&=(180°-∠\text{BDP})+∠\text{BDP}\\[0.5em]&=180°\end{align*}$

なので、円に内接する四角形の対角の性質の逆より4点

$\text{A, B, C, D}$ は同一円周上にあることがわかります。
したがって、

$\text{(b)}$ の逆が成り立つことがわかります。

$\text{(c)}$ の逆

$△\text{ABP}$ と

$△\text{ACP}$ に着目します。

仮定より $\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$
これの両辺を $\text{AP}\cdot \text{CP}$ で割り、変形すると
$\begin{align*}\frac{\text{AP}^2}{\text{AP}\cdot \text{CP}}&=\frac{\text{BP}\cdot \text{CP}}{\text{AP}\cdot \text{CP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{CP}}&=\frac{\text{BP}}{\text{AP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{CP}&=\text{BP}:\text{AP}\tag7\end{align*}$
共通の角より
$∠\text{APB}=∠\text{CPA}\tag8$