方べきの定理の逆は成り立つ？

　方べきの定理とは

$\textbf{(a), (b)}:$ 2本の弦$\text{AB, CD}$、またはそれらの延長が点$\text{P}$で交わるとき、$\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$が成り立つ。

$\textbf{(c)}:$ 点$\text{A}$を通る接線と弦$\text{BC}$の延長が点$\text{P}$で交わるとき、$\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$が成り立つ。

という定理のことです。

では、方べきの定理の逆とはどういったものとなり、それは成り立つでしょうか？

　方べきの定理は次のように書き換えることができます。

$\textbf{(a), (b)}:$ 点$\text{P}$で交わる2直線$l,m$のうち直線$l$上にとった点$\text{A, B}$と直線$m$上にとった点$\text{C, D}$について、4点$\text{A, B, C, D}$が同一円周上にあるならば$\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$が成り立つ。

$\textbf{(c)}:$ 点$\text{P}$で交わる2直線$l,m$のうち直線$l$上にとった点$\text{A}$、直線$m$上にとった点$\text{B, C}$について、直線$\text{AP}\ (l)$が3点$\text{A, B, C}$を通る円の接線ならば$\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$が成り立つ。

すると、方べきの定理の逆は以下のようになります。

$\textbf{(a), (b)の逆}:$ 点$\text{P}$で交わる2直線$l,m$のうち直線$l$上にとった点$\text{A, B}$と直線$m$上にとった点$\text{C, D}$について、$\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$が成り立つならば4点$\text{A, B, C, D}$は同一円周上にある。

$\textbf{(c)の逆}:$ 点$\text{P}$で交わる2直線$l,m$のうち直線$l$上にとった点$\text{A}$、直線$m$上にとった点$\text{B, C}$について、$\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$が成り立つならば直線$\text{AP}\ (l)$は3点$\text{A, B, C}$を通る円の接線となる。

これらが成り立つことを確かめてみます。

$\text{(a)}$の逆

　$\text{(a)}$の逆は直線$l$上の点$\text{A, B}$、直線$ $m$上の点$\text{C, D}$はそれぞれ点$\text{P}$に関して互いに反対側にある場合です。

$△\text{ACP}$と$△\text{DBP}$に着目します。

• 仮定より$\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$
• これの両辺を$\text{BP}\cdot \text{DP}$で割り、変形すると
  \begin{align*}\frac{\text{AP}\cdot \text{BP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}&=\frac{\text{CP}\cdot \text{DP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{DP}}&=\frac{\text{CP}}{\text{BP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{DP}&=\text{CP}:\text{DP}\tag1\end{align*}
• 対頂角より
  \[∠\text{APC}=∠\text{DPB}\tag2\]

$(1), (2)$より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので$△\text{ACP}$と$△\text{DBP}$は相似であることがわかります。

このことから$∠\text{CAP}=∠\text{BDP}$が成り立ちます。

これらの角は直線$\text{BC}$に関して同じ側にある角なので、円周角の定理の逆より4点$\text{A, B, C, D}$は同一円周上にあることがわかります。
したがって、$\text{(a)}$の逆が成り立つことがわかります。

関連：円周角の定理の逆 なぜ成り立つ？

$\text{(b)}$の逆

　$\text{(b)}$の逆は直線$l$上の点$\text{A, B}$、直線$ $m$上の点$\text{C, D}$はそれぞれ点$\text{P}$に関して同じ側にある場合です。

$△\text{ACP}$と$△\text{DBP}$に着目します。

• 仮定より$\text{AP}\cdot \text{BP}=\text{CP}\cdot \text{DP}$
• これの両辺を$\text{BP}\cdot \text{DP}$で割り、変形すると
  \begin{align*}\frac{\text{AP}\cdot \text{BP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}&=\frac{\text{CP}\cdot \text{DP}}{\text{BP}\cdot \text{DP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{DP}}&=\frac{\text{CP}}{\text{BP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{DP}&=\text{CP}:\text{DP}\tag3\end{align*}
• 共通の角より
  \[∠\text{APC}=∠\text{DPB}\tag4\]

$(3),(4)$より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので$△\text{ACP}$と$△\text{DBP}$は相似であることがわかります。

このことから

\[∠\text{CAP}=∠\text{BDP}\tag5\]

が成り立ちます。

ここで、$∠\text{BAC}$について考えると、$(5)$より

\begin{align*}∠\text{BAC}&=180°-∠\text{CAP}\\[0.5em]\therefore∠\text{BAC}&=180°-∠\text{BDP}\tag6\end{align*}

四角形$\text{ABDC}$の対角の組$∠\text{BAC},∠\text{BDC}$について、$(6)$より

\begin{align*}∠\text{BAC}+∠\text{BDC}&=∠\text{BAC}+∠\text{BDP}\\[0.5em]&=(180°-∠\text{BDP})+∠\text{BDP}\\[0.5em]&=180°\end{align*}

なので、円に内接する四角形の対角の性質の逆より4点$\text{A, B, C, D}$は同一円周上にあることがわかります。
したがって、$\text{(b)}$の逆が成り立つことがわかります。

関連：円に内接する四角形の対角の性質の逆は成り立つ？

$\text{(c)}$の逆

　$△\text{ABP}$と$△\text{ACP}$に着目します。

• 仮定より$\text{AP}^2=\text{BP}\cdot \text{CP}$
• これの両辺を$\text{AP}\cdot \text{CP}$で割り、変形すると
  \begin{align*}\frac{\text{AP}^2}{\text{AP}\cdot \text{CP}}&=\frac{\text{BP}\cdot \text{CP}}{\text{AP}\cdot \text{CP}}\\[0.5em]\frac{\text{AP}}{\text{CP}}&=\frac{\text{BP}}{\text{AP}}\\[0.5em]\therefore \text{AP}:\text{CP}&=\text{BP}:\text{AP}\tag7\end{align*}
• 共通の角より
  \[∠\text{APB}=∠\text{CPA}\tag8\]

$(7),(8)$より2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので$△\text{ABP}$と$△\text{ACP}$は相似であることがわかります。

このことから

\[∠\text{BAP}=∠\text{APC}\tag9\]

が成り立ちます。

$△\text{ABC}$と$(9)$に着目すれば接弦定理の逆より直線$\text{AP}$は3点$\text{A, B, C}$を通る円の接線となることがわかります。
したがって、$\text{(c)}$の逆が成り立つことがわかります。

関連：接弦定理の逆は成り立つ？

　以上より、$\text{(a), (b), (c)}$いずれの場合でも方べきの定理の逆が成り立つことがわかります。

関連：方べきの定理はなぜ成り立つ？

関連：同一円周上に4点がある場合とは？