1. 1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。
2. 1つの弧に対する中心角の大きさは同じ弧に対する円周角の2倍である。
1.の逆
また、1.の逆の「~成り立つとき~」は「~成り立つならば~」に書き換えることができ、1.も1.の逆も命題の形をとっていることがわかります。
「2点C, DC, Dが直線ABABに関して同じ側にあるような4点A, B, C, DA, B, C, Dについて」という前提部分を除いて1.と1.の逆を比較すると「ならば」の前後が入れ替わっています。
「ならば」の前後を入れ替えた命題は逆の命題なので、1.と1.の逆は互いに逆の命題であることがわかります。
4点A, B, C, DA, B, C, Dだけでは∠ACB,∠ADB∠ACB,∠ADBが1つの弧に対する円周角にならない場合があるので、この位置条件が必要になります。
前提部分は逆の命題でも共通するので1.の逆にも同様に付きます。
すると、1.の逆の命題が偽であると仮定するならば、その反例は「∠ACB=∠ADB∠ACB=∠ADBが成り立つが点DDが3点A, B, CA, B, Cがある同一円周上にない」ことを示すものとなります。
そこで「点DDが3点A, B, CA, B, Cがある同一円周上になくても∠ACB=∠ADB∠ACB=∠ADBが成り立つ」ことがないということを示します。
これが示せれば反例の存在する余地がないので1.の逆の命題が真であることがわかります。
点DDが3点A, B, CA, B, Cを通る円の外部にある場合
また、仮定より∠ACB=∠ADB∠ACB=∠ADBが成り立ちます。
すると∠ADB=∠APB∠ADB=∠APBとなり、これら2角は同位角なのでAD//APAD//APが成り立ちます。
しかし、ADADとAPAPは点AAで交わるのでAD//APAD//APと矛盾します。
したがって仮定は誤りであり、少なくとも点DDは円OOの外部には存在しません。
点DDが3点A, B, CA, B, Cを通る円の内部にある場合
また、仮定より∠ACB=∠ADB∠ACB=∠ADBが成り立ちます。
すると∠ADB=∠APB∠ADB=∠APBとなり、同位角が等しいのでAD//APAD//APが成り立ちます。
しかし、ADADとAPAPは点AAで交わるのでAD//APAD//APと矛盾します。
したがって仮定は誤りであり、点DDは円OOの内部にも存在しません。
2.の逆
すると、2.の逆は
円周角が鈍角のときは点CCとDDは直線ABABに関して互いに反対側に存在します。
2.の命題は前提がなくとも真となるので、1.のような位置条件を加える必要がありません。
∠ACB∠ACBが鋭角または鈍角の場合
2.の逆が成り立つと仮定すれば点DDは3点A, B, CA, B, Cを通る円OOの中心となります。
ここで3点A, B, DA, B, Dを通る円を描き、この円周上の直線ABABに関して点DDと同じ側に点DDとは異なる点QQをとります。
すると円周角の定理より∠ADB=∠AQB∠ADB=∠AQBが成り立ちます。すなわち2∠ACB=∠AQB2∠ACB=∠AQBが成り立つため2.の逆より点QQが円OOの中心となります。
しかし、これは円OOの中心は点DDであるということに矛盾します。
したがって仮定は誤り、すなわち∠ACB∠ACBが鋭角または鈍角の場合、2.の逆は偽であることがわかります。
∠ACB∠ACBが直角の場合
この場合でも∠ACB∠ACBが鋭角または鈍角の場合同様、2.の逆が成り立つと仮定すれば点DDが3点A, B, CA, B, Cを通る円OOの中心となります。
ここで、線分AB上に点Dとは異なる点Qをとれば∠AQB=180°となり、2∠ACB=∠AQBが成り立つため2.の逆より点Qが円Oの中心となります。
しかし、これは円Oの中心は点Dであるということに矛盾します。
したがって、仮定は誤り、すなわち∠ACBが直角の場合でも2.の逆は偽であることがわかります。
円周角の大きさは180°未満なので、以上より円周角∠ACBがいずれの大きさを持っていたとしても仮定は誤り、すなわち2.の逆が偽となることがわかります。
以上より、円周角の定理の逆として常に成り立つのは1.の逆である「2点C,Dが直線ABに関して同じ側にあるような4点A, B, C, Dについて、∠ACB=∠ADBが成り立つとき4点は同一円周上にある。」だけとなります。