カヴァリエリの原理とは、平面図形に関するものと空間図形に関するものの2つがありますが、共通して一言でいえば
高さごとの切り口が同じならば全体の大きさが同じ
というものです。
なぜこのようなことがいえるのでしょうか？
平面図形に関するカヴァリエリの原理
まず、平面図形に関するカヴァリエリの原理について詳しく説明します。
2本の平行な直線$l, m$にちょうど挟まれた平面図形$\text{A}, \text{B}$を考えます。
そして、$l, m$に平行な直線$n$を$l, m$間に引きます。
これが平面図形に関するカヴァリエリの原理です。
そして、$l, m$に平行な直線$n$を$l, m$間に引きます。
このとき、直線$n$をどこに引いても、すなわちどの高さで切っても図形$\text{A}$と交わった部分の長さと図形$\text{B}$と交わった部分の長さが常に等しいならば図形$\text{A},
\text{B}$の面積は等しくなります。
なぜこのようなことがいえるのかを考えてみます。
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そして、分割してできる図形を直線$l$に近いほうの直線と交わった部分を底辺、分割の幅を高さとする長方形に置き換え、図形$\text{A}, \text{B}$をそれぞれ長方形の積み重ねで近似します。（以下、図形$\text{A}, \text{B}$それぞれの近似である長方形の積み重ね全体を積層$\text{A}, \text{B}$と呼ぶことにします。）
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したがって、同じ高さにある2つの長方形の面積は等しいことがわかります。
また、このことから積み重ねた長方形の面積の総和、すなわち積層$\text{A},
\text{B}$の面積も等しいことがわかります。
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そして、積層$\text{A}, \text{B}$の面積はそれぞれ元の図形$\text{A}, \text{B}$の面積に限りなく近づきます。
このとき、分割の仕方にかかわらず上記の「同じ高さにある長方形の面積は等しい」という性質は常に成り立つので、積層$\text{A},
\text{B}$の面積も常に等しいです。
したがって、それらの限りなく近づく先である元の図形$\text{A}, \text{B}$の面積も等しいことがわかります。
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また、平面図形に関するカヴァリエリの原理は次のように一般化することができます。
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同じ高さで切ったとき、常に図形$\text{B}$の切り口の長さが図形$\text{A}$の切り口の長さの$k$倍であるならば図形$\text{B}$の面積は図形$\text{A}$の面積の$k$倍
なぜなら、同様に長方形の積み重ねで近似したとき、同じ高さにおける長方形は高さは等しいですが、積層$\text{B}$の長方形の底辺の長さは積層$\text{A}$の長方形の底辺の長さの$k$倍になるからです。
すなわち、同じ高さにおける長方形の面積は常に積層$\text{B}$のものが積層$\text{A}$のものの$k$倍であるため、積層$\text{B}$の面積も積層$\text{A}$の面積の$k$倍となります。
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すなわち、同じ高さにおける長方形の面積は常に積層$\text{B}$のものが積層$\text{A}$のものの$k$倍であるため、積層$\text{B}$の面積も積層$\text{A}$の面積の$k$倍となります。
したがって、分割数を限りなく増やしたときにもこの関係は成り立つので、図形$\text{B}$の面積は図形$\text{A}$の面積の$k$倍であることがいえます。
空間図形に関するカヴァリエリの原理
こちらも最初に空間図形に関するカヴァリエリの原理について詳しく説明します。
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2つの平行な平面$α, β$にちょうど挟まれた空間図形$\text{A}, \text{B}$を考えます。
そして、平面$α, β$に平行な平面$γ$を$α, β$間にとります。
これが空間図形に関するカヴァリエリの原理です。
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そして、平面$α, β$に平行な平面$γ$を$α, β$間にとります。
このとき、平面$γ$をどこにとっても、すなわちどの高さで切っても図形$\text{A}$と交わった部分の断面積と図形$\text{B}$と交わった部分の断面積が常に等しいならば図形$\text{A},
\text{B}$の体積は等しくなります。
なぜこのようなことがいえるのかは、平面図形に関するカヴァリエリの原理と同様に考えることができます。
そして、分割してできる図形を平面$α$に近いほうの平面と交わった部分を底面、分割の幅を高さとする柱体に置き換え、図形$\text{A}, \text{B}$をそれぞれ柱体の積み重ねで近似します。（こちらでもこれ以降、図形$\text{A}, \text{B}$それぞれの近似である柱体の積み重ね全体を積層$\text{A}, \text{B}$と呼ぶことにします。）
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したがって、同じ高さにある2つの柱体の体積は等しいことがわかります。
また、このことから積み重ねた柱体の体積の総和、すなわち積層$\text{A},
\text{B}$の体積も等しいことがわかります。
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そして、積層$\text{A}, \text{B}$の体積はそれぞれ元の図形$\text{A}, \text{B}$の体積に限りなく近づきます。
このとき、分割の仕方にかかわらず上記の「同じ高さにある柱体の体積は等しい」という性質は常に成り立つので、積層$\text{A},
\text{B}$の体積も常に等しいです。
したがって、それらの限りなく近づく先である元の図形$\text{A}, \text{B}$の体積も等しいことがわかります。
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また、空間図形に関するカヴァリエリの原理は次のように一般化することができます。
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同じ高さで切ったとき、常に図形$\text{B}$の切り口の断面積が図形$\text{A}$の切り口の断面積の$k$倍であるならば、図形$\text{B}$の体積は図形$\text{A}$の体積の$k$倍
なぜなら、同様に柱体の積み重ねで近似したとき、同じ高さにおける柱体は高さは等しいですが、積層$\text{B}$の柱体の底面積は積層$\text{A}$の柱体の底面積の$k$倍になるからです。
すなわち、同じ高さにおける柱体の体積は常に積層$\text{B}$のものが積層$\text{A}$のものの$k$倍であるため、積層$\text{B}$の体積も積層$\text{A}$の体積の$k$倍となります。
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すなわち、同じ高さにおける柱体の体積は常に積層$\text{B}$のものが積層$\text{A}$のものの$k$倍であるため、積層$\text{B}$の体積も積層$\text{A}$の体積の$k$倍となります。
したがって、分割数を限りなく増やしたときにもこの関係は成り立つので、図形$\text{B}$の体積は図形$\text{A}$の体積の$k$倍であることがいえます。
このように、カヴァリエリの原理は図形の形ではなく、高さごとの切り口の大きさに着目して、面積や体積を比較する考え方です。
図形を細かく分割するという考え方は、積分（定積分）とも深く関連しています。
図形を細かく分割するという考え方は、積分（定積分）とも深く関連しています。
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