面積とは？（正方形・長方形・平行四辺形・台形・三角形の面積） ~ 数学について考えてみる

　面積とは、平面上の図形の広さを数値で表したものです。

長方形の面積は

\[\large (長方形の面積)=(縦の辺の長さ)\times(横の辺の長さ)\]

正方形の面積は

\[\large (正方形の面積)=(1辺の長さ)\times(1辺の長さ)=(1辺の長さ)^2\]

平行四辺形の面積は

\[\large(平行四辺形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\]

台形の面積は

\[\large(台形の面積)=\bigl\{(上底の長さ)+(下底の長さ)\bigr\}\times(高さ)\div2\]

三角形の面積は

\[\large(三角形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\div2\]

となります。

なぜこのようにして面積が求められるのでしょうか？

　1辺の長さが$1$の正方形の面積を$1$と定め、この正方形をいくつ敷き詰められるかによって他の図形の面積を表します。（以下、この正方形を単位正方形と呼びます。）

まず、長方形の面積について考えます。

長方形の面積

横の辺の長さが$1$の長方形

　単位正方形を縦に$n$個敷き詰めてできる縦の辺の長さが$n$、横の辺の長さが$1$の長方形の面積について考えます。

最初に書いたように、この長方形は単位正方形$n$個でできているので、面積は$\mathbf{n}$となります。

　次に、縦の辺の長さが$\dfrac{1}{n}$、横の辺の長さが$1$の長方形の面積について考えます。
この長方形を縦に$n$個敷き詰めると単位正方形ができることから、面積は

\[1\div n=\mathbf{\frac{1}{n}}\]

となります。

そして、縦の辺の長さが$\dfrac{1}{n}$、横の辺の長さが$1$の長方形を縦に$m$個敷き詰めてできる、縦の辺の長さが$\dfrac{m}{n}$、横の辺の長さが$1$の長方形の面積は

\[\frac{1}{n}\times m=\mathbf{\frac{m}{n}}\]

となります。

このように考えていくと、縦の辺の長さと同じ割合で長方形の面積が変化するので、縦の辺の長さと長方形の面積には比例関係があることがわかります。

したがって、縦の辺の長さが$p$、横の辺の長さが$1$の長方形の面積は$\mathbf{p}$となることがわかります。

縦の辺の長さも横の辺の長さも$1$ではない長方形

　縦の辺の長さが$p$、横の辺の長さが$1$の長方形をもとにして、上記のように横の辺の長さを$n, \dfrac{1}{n}, \dfrac{m}{n}$に変えて考えていくと、この場合にも横の辺の長さと長方形の面積には比例関係があることがわかります。

したがって、縦の辺の長さが$p$、横の辺の長さが$q$の長方形の面積は$p\times q=\mathbf{pq}$となります。

ここまで縦の辺、横の辺の順で長さを変えて長方形の面積を考えてきました。
しかし、この2つの辺に違いはないので、どちらの辺を先に考えたとしても同様の結論に至ります。

すなわち、長方形の面積は縦の辺の長さと横の辺の長さの積によって求められるということです。
式で表せば

\[\large (長方形の面積)=(縦の辺の長さ)\times(横の辺の長さ)\]

となります。

正方形の面積

　正方形は縦の長さと横の長さが等しい長方形の特別な場合です。

したがって、長方形の面積の求め方より、正方形の面積は

\[\large (正方形の面積)=(1辺の長さ)\times(1辺の長さ)=(1辺の長さ)^2\]

となります。

平行四辺形の面積

　平行四辺形の1つの辺から対辺またはその延長線上へ垂線をおろします。
このとき、垂線をおろした辺のことを地面に接する底の辺、すなわち底辺と見なすと、垂線の長さは平行四辺形の高さとなります。

対辺へおろした垂線で平行四辺形を分割し、組み替えると長方形になります。
この長方形は縦の辺が平行四辺形の高さ、横の辺が平行四辺形の底辺の長さになっているので、面積は

\[(長方形の面積)=(平行四辺形の底辺の長さ)\times(平行四辺形の高さ)\]

となります。

そして、組み替えによって面積は変化しない、すなわちこの長方形と元の平行四辺形の面積は等しいので、

\[\large(平行四辺形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\]

となることがわかります。

台形の面積

　台形の平行な対辺の一方を上底、もう一方を下底といいます。そして、上底から下底またはその延長線上へおろした垂線の長さは台形の高さとなります。

合同な（形も大きさも同じ）台形を2個組み合わせると平行四辺形ができます。
この平行四辺形は底辺が台形の上底と下底の長さの和、高さが台形の高さとなっているので、面積は

\[(平行四辺形の面積)=\bigl\{(上底の長さ)+(下底の長さ)\bigr\}\times(台形の高さ)\]

となります。

この平行四辺形は合同な台形を2個組み合わせたものなので、この面積は元の台形の面積の2倍あります。
したがって、台形の面積は平行四辺形の面積を$2$で割ったものに等しいので

\[\large(台形の面積)=\bigl\{(上底の長さ)+(下底の長さ)\bigr\}\times(高さ)\div2\]

となることがわかります。

三角形の面積

　1つの辺を底辺とみると、対角にあたる頂点から底辺またはその延長線上へおろした垂線の長さは三角形の高さとなります。

合同な三角形を2個組み合わせると平行四辺形ができます。
この平行四辺形は底辺が三角形の底辺の長さ、高さが三角形の高さとなっているので、面積は

\[(平行四辺形の面積)=(三角形の底辺の長さ)\times(三角形の高さ)\]

となります。

この平行四辺形は合同な三角形を2個組み合わせたものなので、面積は元の三角形の面積の2倍あります。
したがって、三角形の面積は平行四辺形の面積を$2$で割ったものに等しいので

\[\large(三角形の面積)=(底辺の長さ)\times(高さ)\div2\]

となることがわかります。

数学について考えてみる

2026年3月3日