原点を中心とする半径$r$（ただし、$r>0$）の円の方程式は
\[\large x^2+y^2=r^2\]
点$(p,q)$（$p, q:$実数）を中心とする半径$r$の円の方程式は
\[\large (x-p)^2+(y-q)^2=r^2\]
です。
なぜこのように表されるのでしょうか？
ある定点からの距離が一定である点からなる曲線
のことです。
定点のことを円の中心、定点からの距離のことを半径といいます。
この円の定義に従うことで円の方程式を導くことができます。
原点を中心とする円の方程式
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すなわち、円上の点の座標を$(x, y)$とおくと
\[\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=r\]
が成り立つということです。
両辺はともに正なので、両辺を2乗すると
\begin{align*}(x-0)^2+(y-0)^2&=r^2\\[0.5em]\large
x^2+y^2&\large=r^2\end{align*}
となり、これが原点を中心とする半径$r$の円の方程式となります。
点$(p, q)$を中心とする（一般の）円の方程式
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すなわち、円上の点の座標を$(x, y)$とおくと
\[\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2}=r\]
が成り立つということです。
両辺はともに正なので、両辺を2乗すると
この方程式は、任意の中心と半径をもつ円を表す一般の方程式です。
\[\large (x-p)^2+(y-q)^2=r^2\]
となり、これが点$(p, q)$を中心とする半径$r$の円の方程式となります。この方程式は、任意の中心と半径をもつ円を表す一般の方程式です。
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原点を中心とする半径$r$の円を平行移動によって点$(p,
q)$を中心とする半径$r$の円にするには、円全体をx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動することになります。
これは、方程式上では$x$を$x-p$に、$y$を$y-q$に置き換えることに対応しています。
これは、方程式上では$x$を$x-p$に、$y$を$y-q$に置き換えることに対応しています。
したがって、
\begin{align*}&x^2+y^2=r^2\\[0.5em]&\to \quad
(x-p)^2+(y-q)^2=r^2\end{align*}
となります。
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ちなみに、この円の方程式は円の境界、すなわち円周のみを表しますが、円の内部も含めて円板を表す場合は不等式をもちいます。
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すなわち、円板上の点を$(x, y)$とおくと
\[\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2}\leqq r\]
が成り立つということです。
両辺はともに$0$以上であり、それぞれ2乗しても大小関係は変わらないので
\[(x-p)^2+(y-q)^2\leqq r^2\]
となります。
また、境界を含まず円の内部のみを表す場合は不等式から等号が外れて
\[(x-p)^2+(y-q)^2<r^2\]
となります。
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