2つの定点からの距離の比が一定である（ただし、$1:1$でない）点からなる曲線
のことです。
この定義に従うことでアポロニウスの円の方程式を得ることができます。
導出
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\begin{equation}\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}:\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2}=m:n\end{equation}
が成り立ちます。
この比例式は
\[n\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=m\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2}\]
という等式になります。
これの両辺はともに非負で、両辺を2乗すると
\begin{align*}&n^2\bigl\{(x-a)^2+(y-b)^2\bigr\}=m^2\bigl\{(x-c)^2+(y-d)^2\bigr\}\\[1em]&n^2x^2-2an^2x+a^2n^2+n^2y^2-2bn^2y+b^2n^2\\
&\quad=m^2x^2-2cm^2x+c^2m^2+m^2y^2-2dm^2y+d^2m^2\\[1em]&(n^2-m^2)x^2-2(an^2-cm^2)x+(n^2-m^2)y^2-2(bn^2-dm^2)y\\
&\quad=-(a^2n^2-c^2m^2)-(b^2n^2-d^2m^2)\\[1em]&(n^2-m^2)\left(x-\frac{an^2-cm^2}{n^2-m^2}\right)^2+(n^2-m^2)\left(y-\frac{bn^2-dm^2}{n^2-m^2}\right)^2\\
&\quad=\frac{\bigl(an^2-cm^2\bigr)^2}{n^2-m^2}-(a^2n^2-c^2m^2)+\frac{\bigl(bn^2-dm^2\bigr)^2}{n^2-m^2}-(b^2n^2-d^2m^2)\\[1em]&\left(x-\frac{an^2-cm^2}{n^2-m^2}\right)^2+\left(y-\frac{bn^2-dm^2}{n^2-m^2}\right)^2\\
&\quad=\left(\frac{an^2-cm^2}{n^2-m^2}\right)^2-\frac{a^2n^2-c^2m^2}{n^2-m^2}+\left(\frac{bn^2-dm^2}{n^2-m^2}\right)^2-\frac{b^2n^2-d^2m^2}{n^2-m^2}\\[0.5em]&\quad=\frac{(an^2-cm^2)^2-(n^2-m^2)(a^2n^2-c^2m^2)}{(n^2-m^2)^2}+\frac{(bn^2-dm^2)^2-(n^2-m^2)(b^2n^2-d^2m^2)}{(n^2-m^2)^2}\\[0.5em]&\quad=\frac{a^2n^2m^2-2acn^2m^2+c^2n^2m^2}{(n^2-m^2)^2}+\frac{b^2n^2m^2-2bdn^2m^2+d^2n^2m^2}{(n^2-m^2)^2}\\[0.5em]&\quad=\left\{\frac{(a-c)mn}{n^2-m^2}\right\}^2+\left\{\frac{(b-d)mn}{n^2-m^2}\right\}^2\\[1em]\therefore&\
\left(x-\frac{an^2-cm^2}{n^2-m^2}\right)^2+\left(y-\frac{bn^2-dm^2}{n^2-m^2}\right)^2=\left(\frac{mn}{n^2-m^2}\right)^2\bigl\{(a-c)^2+(b-d)^2\bigr\}\tag2\end{align*}
となります。
こうして導出された方程式$(2)$は円の方程式であり、中心が$\left(\dfrac{an^2-cm^2}{n^2-m^2}, \dfrac{bn^2-dm^2}{n^2-m^2}\right)$、半径が$\dfrac{mn}{|n^2-m^2|}\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$である円を表します。
※右辺の正の平方根をとると
\begin{align*}&\sqrt{\left(\frac{mn}{n^2-m^2}\right)^2\bigl\{(a-c)^2+(b-d)^2\bigr\}}\\[0.5em]&=\left|\frac{mn}{n^2-m^2}\right|\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\[0.5em]&=\frac{mn}{|n^2-m^2|}\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}&(\because
m, n>0)\end{align*}
となり、これが円の半径となります。
確認
方程式$(2)$が定義式$(1)$と同値であることは、導出過程がすべて同値変形であったことからわかります。
※両辺を2乗した部分についても、同値変形
$A, B≧0$のとき
をもちいています。
\[A=B\ \Leftrightarrow\ A^2=B^2\]
しかし、本当に同値であるかを円の中心の座標と半径から改めて確認してみます。
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したがって、この円の中心は外分点と内分点を結ぶ線分の中点、半径は外分点と内分点間の距離の半分となります。
中心の座標
アポロニウスの円の中心である内分点$\left(\dfrac{cm +an}{m +n},
\dfrac{dm +bn}{m +n}\right)$と外分点$\left(\dfrac{cm-an}{m-n},
\dfrac{dm-bn}{m-n}\right)$を結ぶ線分の中点の座標を求めます。
中点のx座標は
\begin{align*}&\left(\frac{cm +an}{m
+n}+\frac{cm-an}{m-n}\right)\times\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{(m-n)(cm
+an)+(m +n)(cm-an)}{(m
+n)(m-n)}\times\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{2(cm^2-an^2)}{m^2-n^2}\times\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{cm^2-an^2}{m^2-n^2}\\[0.5em]&=\frac{an^2-cm^2}{n^2-m^2}\end{align*}
y座標は
\begin{align*}&\left(\frac{dm +bn}{m
+n}+\frac{dm-bn}{m-n}\right)\times\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{(m-n)(dm
+bn)+(m +n)(dm-bn)}{(m
+n)(m-n)}\times\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{2(dm^2-bn^2)}{m^2-n^2}\times\frac{1}{2}\\[0.5em]&=\frac{dm^2-bn^2}{m^2-n^2}\\[0.5em]&=\frac{bn^2-dm^2}{n^2-m^2}\end{align*}
となります。
したがって、アポロニウスの円の中心の座標は
\[\left(\frac{an^2-cm^2}{n^2-m^2}, \frac{bn^2-dm^2}{n^2-m^2}\right)\]
であり、方程式$(2)$が表す円の中心と一致します。
半径
内分点$\left(\dfrac{cm +an}{m +n}, \dfrac{dm +bn}{m
+n}\right)$と外分点$\left(\dfrac{cm-an}{m-n},
\dfrac{dm-bn}{m-n}\right)$間の距離を求めると
\begin{align*}&\sqrt{\left(\frac{cm-an}{m-n}-\frac{cm +an}{m
+n}\right)^2+\left(\frac{dm-bn}{m-n}-\frac{dm +bn}{m
+n}\right)^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left\{\frac{(m +n)(cm-an)-(m-n)(cm
+an)}{(m-n)(m +n)}\right\}^2+\left\{\frac{(m +n)(dm-bn)-(m-n)(dm
+bn)}{(m-n)(m
+n)}\right\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left\{\frac{2(c-a)mn}{m^2-n^2}\right\}^2+\left\{\frac{2(d-b)mn}{m^2-n^2}\right\}^2}\\[0.5em]&=\sqrt{\left\{\frac{2(a-c)mn}{n^2-m^2}\right\}^2+\left\{\frac{2(b-d)mn}{n^2-m^2}\right\}^2}\\[0.5em]&=2\sqrt{\left\{\frac{(a-c)mn}{n^2-m^2}\right\}^2+\left\{\frac{(b-d)mn}{n^2-m^2}\right\}^2}\\[0.5em]&=2\left|\frac{mn}{n^2-m^2}\right|\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\\[0.5em]&=2\frac{mn}{|n^2-m^2|}\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}&(\because
m, n>0)\end{align*}
となります。
したがって、アポロニウスの円の半径は
\[\frac{mn}{|n^2-m^2|}\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}\]
であり、方程式$(2)$が表す円の半径と一致します。
以上より、定義式$(1)$を満たすアポロニウスの円と方程式$(2)$が表す円の中心と半径が一致するため、同一の円であることがわかります。
よって、定義式$(1)$と方程式$(2)$は同値です。
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