双曲線の方程式（一般形） ~ 数学について考えてみる

　座標平面上の任意の双曲線を表す方程式のことを双曲線の一般形といいます。

双曲線の一般形も双曲線の定義に従って導き出すことができます。

双曲線の一般形の導出

　双曲線の定義は

2つの焦点からの距離の差が一定である点からなる曲線

あるいは

2つの焦点からの距離の差が一定である点の動く軌跡

です。

2つの焦点$\text{F}_1(2a, 2b), \text{F}_2(2c, 2d)$からの距離の差が$2k$のとき、双曲線の定義を満たす点の座標を$\text{P}(x, y)$とすると

\begin{equation}\left|\sqrt{(x-2a)^2+(y-2b)^2}-\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}\right|=2k\end{equation}

が成り立ちます。ただし、$a, b, c, d$は任意の実数、$k$は正の実数です。
また、2つの焦点間の距離より焦点からの距離の差のほうが小さくならなければならないので$0<2k<\sqrt{(2a-2c)^2+(2b-2d)^2}$、すなわち$0<k<\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$です。

$\text{PF}_1, \text{PF}_2$の大小関係で場合分けすることで、双曲線を1本ずつに分けて考えます。

$\text{PF}_1>\text{PF}_2$のとき

　$\text{PF}_1>\text{PF}_2$のとき、$(1)$の絶対値記号が外れると

\[\sqrt{(x-2a)^2+(y-2b)^2}-\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}=2k\]

となります。

移項すると

\[\sqrt{(x-2a)^2+(y-2b)^2}=2k+\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}\]

両辺はともに非負で、両辺を2乗すると

\begin{align*}(x-2a)^2+(y-2b)^2&=4k^2+(x-2c)^2+(y-2d)^2+4k\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}\\[0.5em]x^2-4ax+4a^2+y^2-4by+4b^2&=4k^2+x^2-4cx+4c^2+y^2-4dy+4d^2+4k\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}\\[0.5em]4k\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}&=-4(a-c)x-4(b-d)y-4(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)\\[0.5em]k\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}&=-(a-c)x-(b-d)y-(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)\end{align*}

さらに両辺を2乗すると

\begin{align*}k^2\bigl\{(x-2c)^2+(y-2d)^2\bigr\}&=(a-c)^2x^2+2(a-c)(b-d)xy+(b-d)^2y^2\\ &\quad+2(a-c)(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)x+2(b-d)(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)y\\ &\quad+(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)^2\\[0.5em]k^2x^2-4ck^2x+4c^2k^2+k^2y^2-4dk^2y+4d^2k^2&=(a-c)^2x^2+2(a-c)(b-d)xy+(b-d)^2y^2\\ &\quad+2(a-c)(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)x+2(b-d)(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)y\\ &\quad+(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)^2\end{align*}

同類項をまとめ、係数を変形すると

\begin{align*}&\bigl\{k^2-(a-c)^2\bigr\}x^2-2(a-c)(b-d)xy+\bigl\{k^2-(b-d)^2\bigr\}y^2\\ &\quad-2\bigl\{(a-c)(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)+2ck^2\bigr\}x-2\bigl\{(b-d)(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)+2dk^2\bigr\}y\\ &\quad-(k^2-a^2-b^2+c^2+d^2)^2+4c^2k^2+4d^2k^2=0\\[0.5em]&\bigl\{k^2-(a-c)^2\bigr\}x^2-2(a-c)(b-d)xy+\bigl\{k^2-(b-d)^2\bigr\}y^2\\ &\quad-2\bigl\{(a-c)k^2-(a-c)(a^2+b^2-c^2-d^2)+2ck^2\bigr\}x-2\bigl\{(b-d)k^2-(b-d)(a^2+b^2-c^2-d^2)+2dk^2\bigr\}y\\ &\quad-k^4+2(a^2+b^2-c^2-d^2)k^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4c^2k^2+4d^2k^2=0\\[0.5em]&\bigl\{k^2-(a-c)^2\bigr\}x^2-2(a-c)(b-d)xy+\bigl\{k^2-(b-d)^2\bigr\}y^2\\ &\quad-2\bigl\{(a +c)k^2-(a-c)(a^2+b^2-c^2-d^2)\bigr\}x-2\bigl\{(b +d)k^2-(b-d)(a^2+b^2-c^2-d^2)\bigr\}y\\ &\quad-k^4+2(a^2+b^2+c^2+d^2)k^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=0\\[0.5em]&\left.\begin{aligned}&\bigl\{k^2-(a-c)^2\bigr\}x^2-2(a-c)(b-d)xy+\bigl\{k^2-(b-d)^2\bigr\}y^2\\ &\quad-2\Bigl[(a +c)k^2-(a-c)\bigl\{(a^2-c^2)+(b^2-d^2)\bigr\}\Bigr]x-2\Bigl[(b +d)k^2-(b-d)\bigl\{(a^2-c^2)+(b^2-d^2)\bigr\}\Bigr]y\\ &\quad-k^4+2(a^2+b^2+c^2+d^2)k^2-\bigl\{(a^2-c^2)+(b^2-d^2)\bigr\}^2=0\end{aligned}\quad\right\}\tag2\end{align*}

となります。

$\text{PF}_1<\text{PF}_2$のとき

　$\text{PF}_1<\text{PF}_2$のとき、$(1)$の絶対値記号を外すと

\[\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}-\sqrt{(x-2a)^2+(y-2b)^2}=2k\]

となります。

移項すると

\[\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}=2k+\sqrt{(x-2a)^2+(y-2b)^2}\]

となります。

$\text{PF}_1>\text{PF}_2$のときと同様に変形していけば、$(3)$の$a$と$c$、$b$と$d$を入れ替えた方程式が得られます。
すなわち、

\begin{align*}&\bigl\{k^2-(c-a)^2\bigr\}x^2-2(c-a)(d-b)xy+\bigl\{k^2-(d-b)^2\bigr\}y^2\\ &\quad-2\Bigl[(c +a)k^2-(c-a)\bigl\{(c^2-a^2)+(d^2-b^2)\bigr\}\Bigr]x-2\Bigl[(d +b)k^2-(d-b)\bigl\{(c^2-a^2)+(d^2-b^2)\bigr\}\Bigr]y\\ &\quad-k^4+2(c^2+d^2+a^2+b^2)k^2-\bigl\{(c^2-a^2)+(d^2-b^2)\bigr\}^2=0\end{align*}

ですが、結局は$(2)$に一致します。

　以上より、ここまで付随する条件は調べず、検証も省いているものの、定義に従うと少なくとも定義を満たす方程式として$(2)$、すなわち

\begin{align*}&\bigl\{k^2-(a-c)^2\bigr\}x^2-2(a-c)(b-d)xy+\bigl\{k^2-(b-d)^2\bigr\}y^2\\ &\quad-2\Bigl[(a +c)k^2-(a-c)\bigl\{(a^2-c^2)+(b^2-d^2)\bigr\}\Bigr]x-2\Bigl[(b +d)k^2-(b-d)\bigl\{(a^2-c^2)+(b^2-d^2)\bigr\}\Bigr]y\\ &\quad-k^4+2(a^2+b^2+c^2+d^2)k^2-\bigl\{(a^2-c^2)+(b^2-d^2)\bigr\}^2=0\end{align*}

が導出されることがわかりました。
後述の確認により、実際に$(2)$が任意の双曲線を表す方程式であることがわかります。

係数が複雑なので別の文字に置き換えると、この方程式は

\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\]

という形になっています。ただし、上記の方程式の形は二次曲線で共通しており、$A, B, C, D, E, F$に任意の実数を代入すれば必ず双曲線になるわけではありません。双曲線であるためには導出過程でみたように適切な条件を満たす必要があります。

実は、$(2)$は楕円の一般形とまったく同じ形の方程式です。異なるのは2つの焦点間の距離$\sqrt{(2a-2c)^2+(2b-2d)^2}$と$2k$の大小関係のみです。

　次は、得られた方程式$(2)$が本当に双曲線の方程式であるのか、そして双曲線の定義式$(1)$と同値であるのかを確かめます。

方程式$(2)$は双曲線を表すか？

　双曲線の定義式$(1)$、すなわち

\[\left|\sqrt{(x-2a)^2+(y-2b)^2}-\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}\right|=2k\quad(0<k<\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2})\]

から導出した方程式$(2)$、すなわち

は本当に双曲線の方程式でしょうか？
方程式$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$が双曲線の標準形であるとすでにわかっていることを利用します。

　双曲線の標準形を回転移動・平行移動して得られる方程式と$(2)$を比較することで確認します。

中心が原点、2つの焦点はともにx軸上にある双曲線について、焦点の座標を$(\pm f, 0)$（ただし、$f>0$）、焦点からの距離の差を$2k$（ただし、$k>0$）とすると、この双曲線の方程式は

\[\frac{x^2}{k^2}-\frac{y^2}{f^2-k^2}=1\quad(0<k<f)\]

と表すことができます。

そして、この双曲線の標準形は、回転移動と平行移動によって座標平面上の任意の双曲線にすることができます。なぜなら、逆に任意の双曲線は平行移動によって中心を原点へ移し、回転移動によって主軸をx軸と平行にして双曲線の標準形にすることができるからです。

ここで、上記の双曲線の標準形は

\begin{align*}\frac{x^2}{k^2}-\frac{y^2}{-(k^2-f^2)}&=1\\[0.5em]\frac{x^2}{k^2}+\frac{y^2}{k^2-f^2}&=1\end{align*}

と変形することができ、見た目は「楕円の方程式（一般形）」において楕円の一般形の確認のためにもちいた楕円の標準形と同じ式となります。
これから行う回転移動と平行移動による変換は式の形にのみ依存するため、楕円の一般形の確認のときと同じものが双曲線の場合にも現れます。

　双曲線の標準形を原点を中心に反時計回りに$θ$だけ回転移動すると、これは方程式上では$x$を$x\cosθ+y\sinθ$に、$y$を$-x\sinθ+y\cosθ$に置き換えることに対応するので

\[\frac{(x\cos\theta +y\sin\theta)^2}{k^2}+\frac{(-x\sin\theta +y\cos\theta)^2}{k^2-f^2}=1\]

となり、整理すると

\[(k^2-f^2\cos^2\theta)x^2-2f^2\cos\theta\sin\theta xy+(k^2-f^2\sin^2\theta)y^2=k^2(k^2-f^2)\]

となります。

さらに、x軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動すると、これは方程式上では$x$を$x-p$に、$y$を$y-q$に置き換えることに対応するので

\[(k^2-f^2\cos^2\theta)(x-p)^2-2f^2\cos\theta\sin\theta(x-p)(y-q)+(k^2-f^2\sin^2\theta)(y-q)^2=k^2(k^2-f^2)\]

となり、整理すると

\begin{align*}&(k^2-f^2\cos^2\theta)x^2-2f^2\cos\theta\sin\theta xy+(k^2-f^2\sin^2\theta)y^2\\ &\quad-2\bigl\{pk^2-f\cos\theta(pf\cos\theta +qf\sin\theta)\bigr\}x-2\bigl\{qk^2-f\sin\theta(qf\sin\theta +pf\cos\theta)\bigr\}y\\ &\quad-k^4+(f^2+p^2+q^2)k^2-(p^2f^2\cos^2\theta +2pqf^2\cos\theta\sin\theta +q^2f^2\sin^2\theta)=0\end{align*}

となります。

この後行う代入のために変形すると

\[\left.\begin{aligned}&\bigl\{k^2-(-f\cos\theta)^2\bigr\}x^2-2(-f\cos\theta)(-f\sin\theta)xy+\bigl\{k^2-(-f\sin\theta)^2\bigr\}y^2\\ &\quad-2\bigl\{pk^2-(-f\cos\theta)(-pf\cos\theta -qf\sin\theta)\bigr\}x-2\bigl\{qk^2-(-f\sin\theta)(-qf\sin\theta -pf\cos\theta)\bigr\}y\\ &\quad-k^4+2\left\{\left(\frac{-f\cos\theta +p}{2}\right)^2+\left(\frac{-f\sin\theta +q}{2}\right)^2+\left(\frac{f\cos\theta +p}{2}\right)^2+\left(\frac{f\sin\theta +q}{2}\right)^2\right\}k^2-(pf\cos\theta +qf\sin\theta)^2=0\end{aligned}\quad\right\}\tag3\]

となります。

ここで、双曲線の標準形の回転移動と平行移動によって焦点がどこへ移動したかについて考えると、$(-f, 0), (f, 0)$から$(-f\cosθ +p, -f\sinθ +q), (f\cosθ +p, f\sinθ +q)$へ移動したことがわかります。

$-f\cosθ +p=2a, -f\sinθ +q=2b,$ $f\cosθ +p=2c, f\sinθ +q=2d$とおくと以下が成り立ちます。

\begin{align*}a&=\frac{-f\cos\theta +p}{2}\\[1em]b&=\frac{-f\sin\theta +q}{2}\\[1em]c&=\frac{f\cos\theta +p}{2}\\[1em]d&=\frac{f\sin\theta +q}{2}\\[0.5em]a+c&=p\\[1em]a-c&=-f\cos\theta\\[1em]b +d&=q\\[1em]b-d&=-f\sin\theta\end{align*}

これらを$(3)$に代入すると

\begin{align*}&\bigl\{k^2-(a-c)^2\bigr\}x^2-2(a-c)(b-d)xy+\bigl\{k^2-(b-d)^2\bigr\}y^2\\ &\quad-2\Bigl[(a +c)k^2-(a-c)\bigl\{(a +c)(a-c)+(b +d)(b-d)\bigr\}\Bigr]x-2\Bigl[(b +d)k^2-(b-d)\bigl\{(a +c)(a-c)+(b +d)(b-d)\bigr\}\Bigr]y\\ &\quad-k^4+2(a^2+b^2+c^2+d^2)k^2-\bigl\{(a +c)(a-c)+(b +d)(b-d)\bigr\}^2=0\\[0.5em]&\bigl\{k^2-(a-c)^2\bigr\}x^2-2(a-c)(b-d)xy+\bigl\{k^2-(b-d)^2\bigr\}y^2\\ &\quad-2\Bigl[(a +c)k^2-(a-c)\bigl\{(a^2-c^2)+(b^2-d^2)\bigr\}\Bigr]x-2\Bigl[(b +d)k^2-(b-d)\bigl\{(a^2-c^2)+(b^2-d^2)\bigr\}\Bigr]y\\ &\quad-k^4+2(a^2+b^2+c^2+d^2)k^2-\bigl\{(a^2-c^2)+(b^2-d^2)\bigr\}^2=0\end{align*}

となり、$(2)$と一致します。

双曲線の標準形

\[\frac{x^2}{k^2}-\frac{y^2}{f^2-k^2}=1\quad(0<k<f)\]

を回転移動・平行移動しても形や大きさが変わることはないので、$(3)$も双曲線の方程式です。
そして、方程式$(2)$と$(3)$が一致するので、$(2)$もまた双曲線の方程式であることがわかります。

　方程式$(2)$は焦点の座標が$(2a, 2b), (2c, 2d)$で、焦点からの距離の差が$2k$である双曲線の定義式$(1)$、すなわち

\[\left|\sqrt{(x-2a)^2+(y-2b)^2}-\sqrt{(x-2c)^2+(y-2d)^2}\right|=2k\quad(0<k<\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2})\]

から導出され、定義式を満たす点はすべて$(2)$を満たします。

また、$(2)$は$(3)$と一致し、$(3)$は焦点の座標が$(2a, 2b), (2c, 2d)$で、焦点からの距離の差が$2k$である双曲線を表します。

したがって、上記の双曲線の定義式と方程式$(2)$はちょうど同じ双曲線だけを表すため、同値であることがわかります。

Desmosグラフ計算機で作った楕円の一般形のサンプルですが、$k$の値を調整することで双曲線も表すことができます。
外部リンク：楕円の一般形| Desmos

外部リンク：楕円の標準形の回転・平行移動| Desmos

数学について考えてみる

2026年5月9日