双曲線の方程式（標準形） ~ 数学について考えてみる

　中心が原点、2つの焦点がともにx軸上にある双曲線は

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a, b>0)\]

中心が原点、2つの焦点がともにy軸上にある双曲線は

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1\quad(a, b>0)\]

という方程式で表されます。これら双曲線の方程式のことを標準形といいます。
（ここでの双曲線とは、共通の焦点により得られる2つの双曲線両方を指します。）

また、

2つの焦点がともにx軸上にあるとき
頂点間の距離	$2a$
焦点の座標	$(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$
漸近線	$y=\pm\dfrac{b}{a}x$

2つの焦点がともにy軸上にあるとき
頂点間の距離	$2b$
焦点の座標	$(0, \pm\sqrt{a^2+b^2})$
漸近線	$y=\pm\dfrac{b}{a}x$

となります。

なぜこのように表されるのでしょうか？

双曲線の方程式（標準形）の導出

　双曲線の定義は

2つの焦点からの距離の差が一定である点からなる曲線

あるいは

2つの焦点からの距離の差が一定である点の動く軌跡

です。この定義に従って方程式を導くことができます。

2つの焦点がともにx軸上にある場合

　双曲線の中心が原点にあり、かつ2つの焦点がともにx軸上にあるということは、双曲線の中心は2つの焦点を結ぶ線分の中点でもあることから、焦点の座標は$F_1(-f, 0), F_2(f, 0)$（ただし、$f>0$）とおけます。

焦点からの距離の差は$2a$とします。ただし、$a$は正の実数です。
また、2つの焦点間の距離より小さくなければならないので$0<2a<2f$、すなわち$0<a<f$です。

双曲線の定義を満たす点の座標を$P(x, y)$とすると

\[\left|\sqrt{\bigl\{x-(-f)\bigr\}^2+y^2}-\sqrt{(x-f)^2+y^2}\right|=2a\]

が成り立ちます。これは

\begin{cases}\sqrt{\bigl\{x-(-f)\bigr\}^2+(y-0)^2}-\sqrt{(x-f)^2+(y-0)^2}=2a\\[0.5em]\sqrt{(x-f)^2+(y-0)^2}-\sqrt{\bigl\{x-(-f)\bigr\}^2+(y-0)^2}=2a\end{cases}

という2つの双曲線をまとめて表したものです。

整理すると

\begin{equation}\left|\sqrt{(x +f)^2+y^2}-\sqrt{(x-f)^2+y^2}\right|=2a\end{equation}

となります。
ただし、$(1)$の左辺は$x=0$のとき$0$となって等式が成り立たなくなるので、$(1)$が成り立つ条件は$x\neq0$です。

$PF_1$と$PF_2$の大小関係で場合分けすることで、双曲線を1本ずつに分けて考えます。

$PF_1>PF_2$のとき

　$PF_1>PF_2$なので、絶対値記号が外れると

\begin{equation}\sqrt{(x +f)^2+y^2}-\sqrt{(x-f)^2+y^2}=2a\end{equation}

となります。

ここで、$(2)$になる条件について考えます。
$PF_1>PF_2$すなわち

\[\sqrt{(x +f)^2+y^2}>\sqrt{(x-f)^2+y^2}\]

は、両辺がともに非負なので

\[(x +f)^2+y^2>(x-f)^2+y^2\]

となります。

これを整理すると

\[4fx>0\]

すなわち$f>0$より

\[x>0\]

となります。

したがって、$x$が正のとき$(2)$になります。

移項すると

\[\sqrt{(x +f)^2+y^2}=2a+\sqrt{(x-f)^2+y^2}\]

両辺はともに非負で、両辺を2乗すると

\begin{align*}(x +f)^2+y^2&=4a^2+(x-f)^2+y^2+4a\sqrt{(x-f)^2+y^2}\\[0.5em]x^2+2fx+f^2+y^2&=4a^2+x^2-2fx+f^2+y^2+4a\sqrt{(x-f)^2+y^2}\\[0.5em]4a\sqrt{(x-f)^2+y^2}&=4fx-4a^2\\[0.5em]a\sqrt{(x-f)^2+y^2}&=fx-a^2\end{align*}

さらに両辺を2乗すると

\begin{align*}a^2\bigl\{(x-f)^2+y^2\bigr\}&=f^2x^2-2a^2fx+a^4\\[0.5em]a^2x^2-2a^2fx+a^2f^2+a^2y^2&=f^2x^2-2a^2fx+a^4\\[0.5em](a^2-f^2)x^2+a^2y^2&=a^4-a^2f^2\\[0.5em]&=a^2(a^2-f^2)\\[0.5em]-(a^2-f^2)x^2-a^2y^2&=-a^2(a^2-f^2)\\[0.5em](f^2-a^2)x^2-a^2y^2&=a^2(f^2-a^2)\end{align*}

となります。

ここで距離条件$0<a<f$より

\[a^2<f^2\]

となり、移項して

\[f^2-a^2>0\]

となります。

この正の実数$f^2-a^2$を$b^2$（ただし、$b>0$）とおくと

\[b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\]

両辺を$a^2b^2$で割ると

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]

となります。
ただし、$(2)$となる条件がついているので、これもあわせて書けば

\begin{equation}\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(x>0)\end{equation}

となります。

後述の十分性の確認により、この方程式は双曲線の定義式の一部$(2)$と同値であるとわかります。

$PF_1<PF_2$のとき

　$PF_1<PF_2$なので、絶対値記号が外れると

\begin{equation}\sqrt{(x-f)^2+y^2}-\sqrt{(x +f)^2+y^2}=2a\end{equation}

となります。

ここで、$(4)$になる条件について考えます。

$PF_1<PF_2$すなわち

\[\sqrt{(x +f)^2+y^2}<\sqrt{(x-f)^2+y^2}\]

は、両辺がともに非負なので

\[(x +f)^2+y^2<(x-f)^2+y^2\]

となります。

これを整理すると

\[x<0\]

となります。

したがって、$x$が負のとき$(4)$になります。

移項すると

\[\sqrt{(x-f)^2+y^2}=2a+\sqrt{(x +f)^2+y^2}\]

両辺はともに非負で、両辺を2乗すると

\begin{align*}(x-f)^2+y^2&=4a^2+(x +f)^2+y^2+4a\sqrt{(x +f)^2+y^2}\\[0.5em]a\sqrt{(x +f)^2+y^2}&=-fx-a^2\end{align*}

さらに両辺を2乗すると

\begin{align*}a^2\bigl\{(x +f)^2+y^2\bigr\}&=f^2x^2+2a^2fx+a^4\\[0.5em](a^2-f^2)x^2+a^2y^2&=a^2(a^2-f^2)\\[0.5em](f^2-a^2)x^2-a^2y^2&=a^2(f^2-a^2)\end{align*}

ここで距離条件$0<a<f$より

\[f^2-a^2>0\]

となります。

この正の実数$f^2-a^2$を$b^2$（ただし、$b>0$）とおくと

\[b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\]

両辺を$a^2b^2$で割ると

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]

となります。
ただし、$(4)$となる条件がついているので、これもあわせて書けば

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(x<0)\]

となります。

後述と同様の十分性の確認により、この方程式は双曲線の定義式の一部$(4)$と同値であるとわかります。

　以上より、

\begin{align*}&\left|\sqrt{(x +f)^2+y^2}-\sqrt{(x-f)^2+y^2}\right|=2a\quad(x\neq0)\\[0.5em]\Leftrightarrow&\begin{cases}\sqrt{(x +f)^2+y^2}-\sqrt{(x-f)^2+y^2}=2a&(x>0)\\[0.5em]\sqrt{(x-f)^2+y^2}-\sqrt{(x +f)^2+y^2}=2a&(x<0)\end{cases}\\[0.5em]\Leftrightarrow&\begin{cases}\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1&(x>0)\\[0.5em]\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1&(x<0)\end{cases}\\[0.5em]\Leftrightarrow&\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad(x\neq0)\end{align*}

となることがわかります。

　では、$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ $(x\neq0)$と$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$は同値でしょうか？

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$に$x=0$を代入すると

\[-\frac{y^2}{b^2}=1\]

となります。

$y$は実数、$b$は正の実数なので、$-\dfrac{y^2}{b^2}$は$0$以下の実数であり、上式は成り立たない等式です。

したがって、$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$は$x=0$において元々成り立たないので、$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ $(x\neq0)$と$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$は同値であることがわかります。

すなわち、

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\tag{I}\]

は双曲線の定義式$(1)$と同値で、この方程式は中心が原点、焦点がともにx軸上にある双曲線を表します。

2つの頂点間の距離

　焦点がともにx軸上にあるということは主軸はx軸ということです。
すなわち、頂点のy座標は$0$なので、$\text{(I)}$に$y=0$を代入すると

\begin{align*}\frac{x^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}&=1\\[0.5em]\frac{x^2}{a^2}&=1\\[0.5em]x^2&=a^2\\[0.5em]x&=\pm a\end{align*}

となり、頂点の座標は$(\pm a, 0)$であることがわかります。

したがって、2つの頂点間の距離は$2a$です。

焦点の座標

　導出過程で現れた$b^2=f^2-a^2$を$f$について解くと

\begin{align*}f^2&=a^2+b^2\\[0.5em]f&=\sqrt{a^2+b^2}&(\because f>0)\end{align*}

となります。

したがって、焦点の座標は$a, b$をもちいて表すと$(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$となることがわかります。

漸近線

　双曲線は頂点から離れるほど直線に近づいていきます。これは極限を考えることでわかります。

まず、$\text{(I)}$を$y$について解くと

\begin{align*}-\frac{y^2}{b^2}&=1-\frac{x^2}{a^2}\\[0.5em]y^2&=b^2\left(\frac{x^2}{a^2}-1\right)\\[0.5em]y&=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}\end{align*}

となり、これの定義域は$x≦-a$または$a≦x$なので、$\dfrac{x^2}{a^2}-1≧0$となるため

\begin{align*}y&=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}\left(1-\frac{a^2}{x^2}\right)}\\[0.5em]&=\pm b\cdot\left|\frac{x}{a}\right|\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}\\[0.5em]\therefore y&=\pm\frac{b}{a}|x|\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}}&(\because a>0)\end{align*}

と変形できます。

これの$x\to\infty$のときを考えると、$\dfrac{a^2}{x^2}\to0$となるため$\dfrac{a^2}{x^2}$の$y$の値に与える影響が限りなく小さくなることがわかります。
したがって、$\dfrac{a^2}{x^2}$を省き$\dfrac{a^2}{x^2}$の影響を無視した近似式が、$x$を限りなく大きくしたときに双曲線が近似していく対象となります。

これを求めると$x\to\infty$のときは$x>0$であるので

\begin{align*}y&=\pm\frac{b}{a}x\sqrt{1}\\[0.5em]\therefore y&=\pm\frac{b}{a}x\end{align*}

となり、$x>0$側において$\text{(I)}$は頂点から離れるほど直線$y=\pm\dfrac{b}{a}x$に限りなく近づくことがわかります。
同様にして、$x<0$側においても$\text{(I)}$は頂点から離れるほど直線$y=\pm\dfrac{b}{a}x$に限りなく近づきます。

以上より、双曲線$\text{(I)}$は頂点から離れるほど直線$y=\pm\dfrac{b}{a}x$に限りなく近づきます。
このようにある方向へ進んだときに曲線が完全に一致することはないが、限りなく近づいていく直線のことを漸近線といいます。

　以上をまとめると次のようになります。

中心が原点、焦点がともにx軸上にある双曲線の方程式

\[\large\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]

頂点間の距離	$2a$
焦点の座標	$(\pm\sqrt{a^2+b^2}, 0)$
漸近線	$y=\pm\dfrac{b}{a}x$

2つの焦点がともにy軸上にある場合

　双曲線の中心が原点にあり、かつ2つの焦点がともにy軸上にあるということは、双曲線の中心は2つの焦点を結ぶ線分の中点でもあることから、焦点の座標は$F_1(0, -f), F_2(0, f)$（ただし、$f>0$）とおけます。

焦点からの距離の差は$2b$とします。ただし、$b$は正の実数です。
また、2つの焦点間の距離より小さくなければならないので$0<2b<2f$、すなわち$0<b<f$です。

双曲線の定義を満たす点の座標を$P(x, y)$とすると

\[\left|\sqrt{(x-0)^2+\bigl\{y-(-f)\bigr\}^2}-\sqrt{(x-0)^2+(y-f)^2}\right|=2b\]

が成り立ちます。

整理すると

\begin{equation}\left|\sqrt{x^2+(y +f)^2}-\sqrt{x^2+(y-f)^2}\right|=2b\end{equation}

となります。
ただし、$(5)$の左辺は$y=0$のとき$0$となって等式が成り立たなくなるので、$(5)$が成り立つ条件は$y\neq0$です。

$PF_1$と$PF_2$の大小関係で場合分けして考えます。