2つの定点からの距離の差の絶対値が一定である点からなる曲線
のことです。ただし、一定の距離の差の絶対値は$0$より大きく2定点間の距離より小さいものとします。
2つの定点のことを焦点といいます。
なぜなら、一方の焦点からの距離がもう一方の焦点からの距離より短い点からなる曲線と長い点からなる曲線の2つがあるためです。
この2つの曲線を1つの双曲線として定義するために、一定の距離の差は絶対値をとります。
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また、双曲線は点対称な図形でもあり、対称点は主軸と2つの焦点を結ぶ線分の垂直二等分線の交点となります。これを双曲線の中心といいます。双曲線の中心は2つの頂点を結ぶ線分の中点でもあります。
頂点間の距離
2つの頂点間の距離は双曲線を定義する2つの焦点からの距離の差に等しくなります。
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2つの焦点を$F_1,
F_2$とし、これらからの距離の差が$k$となる点からなる双曲線を考えます。
双曲線の頂点のうち焦点$F_1$に近いほうを$A$、もう一方を$B$とします。
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双曲線の頂点のうち焦点$F_1$に近いほうを$A$、もう一方を$B$とします。
双曲線の定義より
\begin{align*}|AF_1-AF_2|&=k\\[0.5em]AF_2-AF_1&=k&(\because
AF_1<AF_2)\tag1\\[1em]|BF_1-BF_2|&=k\\[0.5em]BF_1-BF_2&=k&(\because
BF_1>BF_2)\tag2\end{align*}
が成り立ちます。
ここで、双曲線の焦点と頂点はすべて主軸上にあり、$AF_2＝AB+BF_2,$
$BF_1=AF_1+AB$となることから、$(1), (2)$はそれぞれ
\begin{align*}(AB+BF_2)-AF_1&=k\\[0.5em]AB-AF_1+BF_2&=k\tag*{(1)'}\\[1em](AF_1+AB)-BF_2&=k\\[0.5em]AB+AF_1-BF_2&=k\tag*{(2)'}\end{align*}
と書くことができます。
$(1)', (2)'$より
\begin{align*}AB-AF_1+BF_2&=AB+AF_1-BF_2\\[0.5em]2BF_2&=2AF_1\\[0.5em]BF_2&=AF_1\end{align*}
であることがわかります。
$(1)$より
\begin{align*}AF_2-AF_1&=k\\[0.5em](AB+BF_2)-AF_1&=k\\[0.5em](AB+AF_1)-AF_1&=k\\[0.5em]AB&=k\end{align*}
となります。
したがって、2つの頂点間の距離は双曲線を定義する2つの焦点からの距離の差に等しいことがわかります。
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