x切片とy切片がわかっている直線の方程式（切片形）

　x切片が$a$、y切片が$b$（ただし、$a, b\neq0$）である直線の方程式は

\[\large\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]

と表されます。このような直線の方程式を切片形といいます。

なぜこのように表すことができるのでしょうか？

　x切片が$a$、y切片が$b$（ただし、$a, b\neq0$）ということは、異なる2点$(a, 0), (0, b)$を通るということです。

このことから、「通る2点がわかっている直線の方程式」で示したことを使うことができます。
x切片が$a$、y切片が$b$（ただし、$a, b\neq0$）である直線の方程式は

\begin{align*}(0-b)x-(a-0)y +ab-0\cdot0&=0\\[0.5em]-bx-ay +ab&=0\\[0.5em]bx +ay-ab&=0\end{align*}

となることがわかります。
そして、これの両辺を$ab$で割り

\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0\]

$-1$を右辺に移項すれば

\[\large\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\]

が得られます。

　また、「通る2点がわかっている直線を表す1次関数」で示したことを使い、1次関数の形で表すこともできます。
x切片が$a$、y切片が$b$（ただし、$a, b\neq0$）である、すなわち2点$(a, 0), (0, b)$を通る直線を表す1次関数は

\begin{align*}y&=\frac{b-0}{0-a}(x-a)+0\\[0.5em]&=\frac{b}{-a}(x-a)\\[0.5em]&=-\frac{b}{a}(x-a)\\[0.5em]\large\therefore y&\large=-\frac{b}{a}x+b\end{align*}

となります。
これは上記の直線の方程式$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$を変形することによっても得ることができます。

Desmosグラフ計算機で切片形のサンプルを作ってみました。
外部リンク：切片形| Desmos

関連：通る2点の座標がわかっている直線の方程式

関連：通る2点の座標がわかっている直線を表す1次関数