\[\large(b-d)x-(a-c)y +ad-bc=0\]
と表せます。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？
導出
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これは、x軸方向に$-c$、y軸方向に$-d$だけ平行移動することなので、点$(a, b)$は$(a-c, b-d)$へ移動します。
これら平行移動後の2点、原点と点$(a-c,
b-d)$を通る直線の方程式は、「直線の方程式（一般形）」で示したように
\[(b-d)x-(a-c)y=0\]
となります。
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したがって、この平行移動は方程式上では$x$を$x-c$に、$y$を$y-d$に置き換えることに対応するので
\begin{align*}(b-d)(x-c)-(a-c)(y-d)&=0\\[0.5em](b-d)x-(a-c)y-(b-d)c+(a-c)d&=0\\[0.5em]\large\therefore(b-d)x-(a-c)y
+ad-bc&\large=0\end{align*}
となることがわかります。
ベクトルによる導出
ベクトルによっても導出できます。
異なる2点$(a, b), (c, d)$をそれぞれ$\text{P},
\text{Q}$とおくと、これらを通る直線の方向ベクトルの1つに$\vec{\text{QP}}$があります。
$\vec{\text{QP}}$の成分は
$\vec{\text{QP}}$の成分は
\[\vec{\text{QP}}=(a, b)-(c, d)=(a-c, b-d)\]
となります。
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\begin{align*}\vec{\text{OR}}&=\vec{\text{OQ}}+\vec{\text{QR}}\\[0.5em]&=\vec{\text{OQ}}+k\vec{\text{QP}}\end{align*}
が成り立ち、これを変形すると
\begin{align*}(x, y)&=(c, d)+k(a-c, b-d)\\[0.5em]&=(c,
d)+\bigl(k(a-c), k(b-d)\bigr)\\[0.5em]&=\bigl(c +k(a-c), d
+k(b-d)\bigr)\end{align*}
となり、
\begin{cases}x=c +k(a-c)&\cdots(1)\\[0.5em]y=d
+k(b-d)&\cdots(2)\end{cases}
が成り立つことがわかります。
$(1)$の両辺を$b-d$倍して変形すると
\[k(a-c)(b-d)=(b-d)x-(b-d)c\]
$(2)$の両辺を$a-c$倍して変形すると
\[k(a-c)(b-d)=(a-c)y-(a-c)d\]
となるので、
\begin{align*}(b-d)x-(b-d)c&=(a-c)y-(a-c)d\\[0.5em](b-d)x-(a-c)y+(a-c)d-(b-d)c&=0\\[0.5em]\large\therefore(b-d)x-(a-c)y
+ad-bc&\large=0\end{align*}
となることがわかります。
Desmosグラフ計算機で2点を通る直線の方程式のサンプルを作ってみました。
外部リンク：2点を通る直線の方程式| Desmos
外部リンク：2点を通る直線の方程式| Desmos
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