座標平面上の点の平行移動・対称移動 ~ 数学について考えてみる

　点が平行移動・対称移動したとき、移動後の座標は以下のようになります。

$\begin{array}{l}\large\textbf{点$(a, b)$を}\\ \large\textbf{平行移動}\\ \textbf{x軸方向へ$p$だけ平行移動}&\large(\textcolor{red}{a+p}, b)\\[1em]\hline\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}&\large(a, \textcolor{red}{b+q})\\[1em]\hline\begin{aligned}&\textbf{x軸方向へ$p$}\\ &\textbf{y軸方向へ$q$だけ平行移動}\end{aligned}&\large(\textcolor{red}{a+p}, \textcolor{blue}{b+q})\\[2em]\hline\large\textbf{対称移動}\\ \textbf{x軸に関して対称移動}&\large(a, \textcolor{red}{-b})\\[1em]\hline\textbf{y軸に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{-a}, b)\\[1em]\hline\textbf{原点に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{-a}, \textcolor{blue}{-b})\\[1em]\hline\textbf{直線$x=p$に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{2p-a}, b)\\[1em]\hline\textbf{直線$y=q$に関して対称移動}&\large(a, \textcolor{red}{2q-b})\\[1em]\hline\textbf{点$(p, q)$に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{2p-a}, \textcolor{blue}{2q-b})\\[1em]\hline\textbf{直線$y=x$に関して対称移動}&\large(\textcolor{red}{b}, \textcolor{blue}{a})\\ \hline\end{array}$

なぜこのようになるのかを考えます。

点の平行移動

x軸方向への平行移動

　点

$(a, b)$ をx軸方向に

$p$ だけ平行移動した場合を考えます。
これは点

$(a, b)$ のx座標のみに

$p$ を加えた座標に移動することを意味します。

したがって、x軸方向に

$p$ だけ平行移動した後の点の座標は

$\large(\textcolor{red}{a+p}, b)$

となります。

y軸方向への平行移動

　点

$(a, b)$ をy軸方向に

$q$ だけ平行移動した場合を考えます。
これは点

$(a, b)$ のy座標のみに

$q$ を加えた座標に移動することを意味します。

したがって、y軸方向に

$q$ だけ平行移動した後の点の座標は

$\large(a, \textcolor{red}{b+q})$

となります。

2つの方向へ平行移動

　点

$(a, b)$ をx軸方向に

$p$ 、y軸方向に

$q$ だけ平行移動した場合を考えます。
これは点

$(a, b)$ のx座標に

$p$ を加え、y座標に

$q$ を加えた座標に移動することを意味します。

したがって、平行移動後の点の座標は

$\large(\textcolor{red}{a+p}, \textcolor{blue}{b+q})$

となり、x軸方向への平行移動とy軸方向への平行移動の2つの変化が現れています。

点の対称移動

x軸に関して対称移動

　点

$(a, b)$ をx軸に関して対称移動するとは、x軸を中心として座標平面を裏返したような位置に移動することで、

x軸までの距離が点 $(a, b)$ と等しい
x軸に関して点 $(a, b)$ と反対側にある
点 $(a, b)$ とx軸におろした垂線の足が共通

上記の条件を満たす座標に移動することを意味します。
これらを満たす座標は、点

$(a, b)$ とともにx軸上の点を中点とする線分の端となるような点の座標であるということです。ただし、x軸におろした足が共通な点はいずれも等しいx座標をもつので、x座標は

$a$ となります。
また、x軸上の点はいずれもy座標が

$0$ となります。

求める座標を

$(a, y)$ とおくと中点のy座標より

$\frac{y+b}{2}=0$

となり、これを解くと

$y=-b$ となります。

したがって、x軸に関して対称移動後の点の座標は

$\large(a, \textcolor{red}{-b})$

となります。

y軸に関して対称移動

　点

$(a, b)$ をy軸に関して対称移動するとは、y軸を中心として座標平面を裏返したような位置に移動することで、

y軸までの距離が点 $(a, b)$ と等しい
y軸に関して点 $(a, b)$ と反対側にある
点 $(a, b)$ とy軸におろした垂線の足が共通

上記の条件を満たす座標に移動することを意味します。
これらを満たす座標は、点

$(a, b)$ とともにy軸上の点を中点とする線分の端となるような点の座標であるということです。ただし、y軸におろした足が共通な点はいずれも等しいy座標をもつので、y座標は

$b$ となります。
また、y軸上の点はいずれもx座標が

$0$ となります。

求める座標を

$(x, b)$ とおくと中点のx座標より

$\frac{x+a}{2}=0$

となり、これを解くと

$x=-a$ となります。

したがって、y軸に関して対称移動後の点の座標は

$\large(\textcolor{red}{-a}, b)$

となります。

原点に関して対称移動

　点

$(a, b)$ を原点に関して対称移動するとは、原点を中心として座標平面を180°回転させたような位置に移動することで、

原点までの距離が点 $(a, b)$ と等しい
点 $(a, b)$ と原点を通る直線上にあり、原点に関して点 $(a, b)$ と反対側にある

上記の条件を満たす座標に移動することを意味します。
これらを満たす座標は、点

$(a, b)$ とともに原点を中点とする線分の端となるような点の座標でもあります。

求める座標を

$(x, y)$ とおくと中点の座標より

$\left(\frac{x+a}{2}, \frac{y+b}{2}\right)=(0, 0)$

となり、これを解くと

$(x, y)=(-a, -b)$ となります。

したがって、原点に関して対称移動後の点の座標は

$\large(\textcolor{red}{-a}, \textcolor{blue}{-b})$

となります。
これは点

$(a, b)$ に対しx軸に関して対称移動とy軸に関して対称移動をおこなった後の座標でもあります。

直線 $x=p$ に関して対称移動

　点

$(a, b)$ を直線

$x=p$ に関して対称移動するとは、直線

$x=p$ を中心として座標平面を裏返したような位置に移動することで、

直線 $x=p$ までの距離が点 $(a, b)$ と等しい
直線 $x=p$ に関して点 $(a, b)$ と反対側にある
点 $(a, b)$ と直線 $x=p$ におろした垂線の足が共通

上記の条件を満たす座標に移動することを意味します。
これらを満たす座標は、点

$(a, b)$ とともに直線

$x=p$ 上の点を中点とする線分の端となるような点の座標でもあります。ただし、直線

$x=p$ におろした足が共通な点はいずれも等しいy座標をもつので、y座標は

$b$ となります。
また、直線

$x=p$ 上の点はいずれもx座標が

$p$ となります。

求める座標を

$(x, b)$ とおくと中点のx座標より

$\frac{x+a}{2}=p$

となり、これを解くと

$x=2p-a$ となります。

したがって、直線

$x=p$ に関して対称移動後の点の座標は

$\large(\textcolor{red}{2p-a}, b)$

となります。

直線 $y=q$ に関して対称移動

　点

$(a, b)$ を直線

$y=q$ に関して対称移動するとは、直線

$y=q$ を中心として座標平面を裏返したような位置に移動することで、

直線 $y=q$ までの距離が点 $(a, b)$ と等しい
直線 $y=q$ に関して点 $(a, b)$ と反対側にある
点 $(a, b)$ と直線 $y=q$ におろした垂線の足が共通

上記の条件を満たす座標に移動することを意味します。
これらを満たす座標は、点

$(a, b)$ とともに直線

$y=q$ 上の点を中点とする線分の端となるような点の座標でもあります。ただし、直線

$y=q$ におろした足が共通な点はいずれも等しいx座標をもつので、x座標は

$a$ となります。
また、直線

$y=q$ 上の点はいずれもy座標が

$q$ となります。

求める座標を

$(a, y)$ とおくと中点のy座標より

$\frac{y+b}{2}=q$

となり、これを解くと

$y=2q-b$ となります。

したがって、直線

$y=q$ に関して対称移動後の点の座標は

$\large(a, \textcolor{red}{2q-b})$

となります。

点 $(p, q)$ に関して対称移動

　点

$(a, b)$ を点

$(p, q)$ に関して対称移動するとは、点

$(p, q)$ を中心として座標平面を180°回転させたような位置に移動することで、

点 $(p, q)$ までの距離が点 $(a, b)$ と等しい
2点 $(a, b), (p, q)$ を通る直線上にあり、点 $(p, q)$ に関して点 $(a, b)$ と反対側にある

上記の条件を満たす座標に移動することを意味します。
これらを満たす座標は、点

$(a, b)$ とともに点

$(p, q)$ を中点とする線分の端となるような点の座標でもあります。

求める座標を

$(x, y)$ とおくと中点の座標より

$\left(\frac{x+a}{2}, \frac{y+b}{2}\right)=(p, q)$

となり、これを解くと

$(x, y)=(2p-a, 2q-b)$ となります。

したがって、点

$(p, q)$ に関して対称移動後の点の座標は

$\large(\textcolor{red}{2p-a}, \textcolor{blue}{2q-b})$

となります。
これは点

$(a, b)$ に対しx軸に関して対称移動とy軸に関して対称移動をおこなった後の座標でもあります。

直線 $y=x$ に関して対称移動

　点

$(a, b)$ を直線

$y=x$ に関して対称移動するとは、直線

$y=x$ を中心として座標平面を裏返したような位置に移動することで、

直線 $y=x$ までの距離が点 $(a, b)$ と等しい
直線 $y=x$ に関して点 $(a, b)$ と反対側にある
点 $(a, b)$ と直線 $y=x$ におろした垂線の足が共通

上記の条件を満たす座標に移動することを意味します。
これらを満たす座標は、点

$(a, b)$ とともに直線

$y=q$ 上の点を中点とする線分の端となるような点の座標でもあります。

まずは中点となる、点

$(a, b)$ から直線

$y=x$ におろした垂線の足の座標を求めます。
直線

$y=x$ 上の点は任意の実数

$t$ をもちいると

$(t, t)$ と表せるので、点

$(a, b), (t, t)$ 間の距離の2乗は

$(t-a)^2+(t-b)^2$ となります。
これを展開して

$t$ について整理すると

$2t^2-2(a+b)t+a^2+b^2$

となります。これが最小値をとるときの

$t$ が点

$(a, b)$ から直線

$y=x$ におろした垂線の足のx座標とy座標となります。

平方完成すると

$\begin{align*}2t^2-2(a+b)t+a^2+b^2&=2\bigl\{t^2-(a+b)t\bigr\}+a^2+b^2\\[0.5em]&=2\left(t-\frac{a+b}{2}\right)^2+a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{2}\\[0.5em]&=2\left(t-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{a^2-2ab+b^2}{2}\\[0.5em]&=2\left(t-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a+b)^2}{2}\end{align*}$

となり、

$t=\dfrac{a+b}{2}$ のとき最小値をとるので、点

$(a, b)$ から直線

$y=x$ におろした垂線の足の座標が

$\left(\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{a+b}{2}\right)$ であることがわかります。

対称移動後の座標を

$(x, y)$ とおくと中点の座標より

$\left(\frac{x+a}{2}, \frac{y+b}{2}\right)=\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}\right)$

となり、これを解くと

$x=b, y=a$ なので、直線

$y=x$ に関して対称移動した後の座標は

$\large(\textcolor{red}{b}, \textcolor{blue}{a})$