楕円とは？

　楕円とは、2つの定点からの距離の和が一定である点からなる曲線のことです。ただし、一定の距離の和は2定点間の距離より大きいものとします。
この2つの定点のことを焦点といいます。

楕円は線対称な図形で、2つの焦点を通る直線と、2つの焦点を結ぶ線分の垂直二等分線の2本が対称軸となります。

2つの焦点を通る直線と楕円の2つの交点を結ぶ線分のことを長軸、2つの焦点を結ぶ線分の垂直二等分線と楕円の2つの交点を結ぶ線分のことを短軸といいます。
また、楕円は点対称な図形でもあり、対称点は長軸と短軸の交点となります。これを楕円の中心といいます。

長軸の長さは楕円を定義する2つの焦点からの距離の和に等しくなります。これは、2つの焦点と同一直線上にある楕円上の点を考えることでわかります。

　2つの焦点を$\text{F}_1, \text{F}_2$とし、これらからの距離の和が$k$となる点からなる楕円を考えます。
2つの焦点$\text{F}_1, \text{F}_2$と同一直線上にある楕円上の点のうち、焦点$\text{F}_1$に近いほうの点を$\text{A}$、焦点$\text{F}_2$に近いほうの点を$\text{B}$とします。

楕円の定義より

\begin{align}\text{AF}_1+\text{AF}_2&=k\\[1em]\text{BF}_1+\text{BF}_2&=k\end{align}

が成り立ちます。

ここで、仮定より$\text{AF}_2=\text{AF}_1+\text{F}_1\text{F}_2,$ $\text{BF}_1=\text{BF}_2+\text{F}_1\text{F}_2$であることから$(1), (2)$はそれぞれ

\begin{align*}\text{AF}_1+(\text{AF}_1+\text{F}_1\text{F}_2)&=k\\[0.5em]\therefore 2\text{AF}_1+\text{F}_1\text{F}_2&=k\tag*{(1)'}\\[1em](\text{BF}_2+\text{F}_1\text{F}_2)+\text{BF}_2&=k\\[0.5em]\therefore 2\text{BF}_2+\text{F}_1\text{F}_2&=k\tag*{(2)'}\end{align*}

と書くことができます。

$(1)', (2)'$より

\begin{align*}2\text{AF}_1+\text{F}_1\text{F}_2&=2\text{BF}_2+\text{F}_1\text{F}_2\\[0.5em]2\text{AF}_1&=2\text{BF}_2\\[0.5em]\text{AF}_1&=\text{BF}_2\end{align*}

であることがわかります。

$(1)$より

\begin{align*}\text{AF}_1+\text{AF}_2&=k\\[0.5em]\text{AF}_1+(\text{AF}_1+\text{F}_1\text{F}_2)&=k\\[0.5em]\text{AF}_1+(\text{BF}_2+\text{F}_1\text{F}_2)&=k\\[0.5em]\text{AF}_1+\text{F}_1\text{F}_2+\text{BF}_2&=k\end{align*}

4点$\text{A}, \text{B}, \text{F}_1, \text{F}_2$は同一直線上にあるため、$\text{AF}_1+\text{F}_1\text{F}_2+\text{BF}_2$は長軸$\text{AB}$の長さを表します。

したがって、長軸の長さは楕円を定義する2つの焦点からの距離の和に等しいことがわかります。

　楕円の定義は

2つの焦点$\text{F}_1, \text{F}_2$からの距離について

\[\text{PF}_1+\text{PF}_2=k\]

を満たす点$\text{P}$の軌跡

と書くことができます。

ここで、2つの焦点$\text{F}_1, \text{F}_2$が同じである場合を考えてみます。
このとき、$\text{PF}_1=\text{PF}_2$となるので、

焦点$\text{F}_1$からの距離について

\[2\text{PF}_1=k\]

すなわち

\[\text{PF}_1=\frac{k}{2}\]

を満たす点$\text{P}$の軌跡

と書けます。

ところで、円の定義は

中心$\text{O}$からの距離について

\[\text{QO}=r\]

を満たす点$\text{Q}$の軌跡

と書くことができます。なお、$r$は半径です。

この2つを比較すると、$\text{F}_1, \text{F}_2$が同一の点のときの楕円の定義は点$\text{F}_1$を中心、$\dfrac{k}{2}$を半径とした円の定義そのものであることがわかります。

したがって、円は楕円の焦点が一致している特別な場合であるといえます。