任意の角度に対して定義された三角関数のふるまいはグラフという形で表すことができます。
$\sin x, \cos x, \tan x$のグラフがどのような形であるのかを見てみます。
単位円による三角関数の定義を改めて以下に示します。
ただし、三角関数のグラフに必要なのは角度と三角関数の値であり、それぞれに$x$と$y$を割り当てる都合上、x軸をs軸、y軸をt軸に変更します。これによって定義の内容が本質的に変わることはありません。
原点を中心とする単位円周上の点の座標を$(\cos x, \sin x)$とします。
角度$x$は弧度法をもちいて表します。
ただし、三角関数のグラフに必要なのは角度と三角関数の値であり、それぞれに$x$と$y$を割り当てる都合上、x軸をs軸、y軸をt軸に変更します。これによって定義の内容が本質的に変わることはありません。
ただし、$x$はs軸の正の部分から点$(\cos x, \sin x)$を通る半径までの反時計回りを正とする一般角です。
また、原点と点$(\cos x, \sin
x)$を通る直線と直線$s=1$との交点のt座標を$\tan
x$とします。（ただし、交点をもたない場合は定義できない。）
$\sin x$のグラフ
上記の定義より、$\sin
x$は角度$x$における単位円周上の点のt座標によって定められます。
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この$\sin x$のふるまいにより、$y=\sin x$のグラフは$-1≦y≦1$の間で上下する波の形になります。
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これは、円周上の点が$2\pi$回転すると元の位置に戻ることに由来する
\[\sin x=\sin(x+2\pi n)\quad(n:整数)\]
という性質によるものです。
一般に、
特に、$p>0$で最小のものを基本周期といいます。
\[f(x)=f(x+p)\]
を満たす関数$f(x)$を周期関数といい、$p$を周期といいます。
特に、$p>0$で最小のものを基本周期といいます。
したがって、三角関数$\sin x$は周期関数で、基本周期は$2\pi$です。
$\cos x$のグラフ
上記の定義より、$\cos
x$は角度$x$における単位円周上の点のs座標によって定められます。
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この$\cos x$のふるまいにより、$y=\cos x$のグラフは$-1≦y≦1$の間で上下する波の形になっています。
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これは、円周上の点が$2\pi$回転すると元の位置に戻ることに由来する
\[\cos x=\cos(x+2\pi n)\quad(n:整数)\]
という性質によるものです。すなわち、三角関数$\cos x$は周期関数で、基本周期は$2\pi$です。
$\tan x$のグラフ
上記の定義より、$\tan
x$は角度$x$における単位円周上の点と原点を通る直線と直線$s=1$との交点のt座標によって定められます。
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この性質により、$y=\tan x$のグラフは$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$で途切れます。
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これは、この範囲で$x$が増加すると$\tan x$の値は常に増加する性質があるためです。
また、$x$における単位円周上の点と原点を通る直線の傾きはどのような実数もとることができるため、$y=\tan
x$の値域はすべての実数となります。
特に、$x$が増加して$\dfrac{\pi}{2}+\pi n$に限りなく近づくときは$\tan
x$が正の無限大に発散し、$x$が減少して$\dfrac{\pi}{2}+\pi
n$に限りなく近づくときは$\tan x$が負の無限大に発散します。
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これは、原点と$x, x+\pi$における単位円周上の点が同一直線上にあるため、$x$と$x+\pi$における直線$s=1$上の点が一致することに由来する
\[\tan x=\tan(x+\pi n)\quad(n:整数)\]
という性質によるものです。すなわち、三角関数$\tan x$は周期関数で、基本周期は$\pi$です。
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