楕円の方程式（一般形）

　座標平面上の任意の楕円を表す方程式のことを楕円の一般形といいます。
楕円の一般形も楕円の定義に従って導き出すことができます。

Read More

楕円の方程式（標準形）

　中心が原点、2つの焦点がともにx軸またはy軸上にある楕円は

\[\large \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad(a, b>0)\]

という方程式で表されます。この楕円の方程式のことを楕円の標準形といいます。

また、

2つの焦点がともにx軸上にあるとき
$a, b$の大小関係	$a>b>0$
長軸の長さ	$2a$
短軸の長さ	$2b$
焦点の座標	$(\pm\sqrt{a^2-b^2}, 0)$

2つの焦点がともにy軸上にあるとき
$a, b$の大小関係	$b>a>0$
長軸の長さ	$2b$
短軸の長さ	$2a$
焦点の座標	$(0, \pm\sqrt{b^2-a^2})$

となります。

なぜこのように表されるのでしょうか？

Read More

楕円とは？

楕円とは、

2つの定点からの距離の和が一定である点からなる曲線

のことです。ただし、一定の距離の和は2定点間の距離より大きいものとします。
この2つの定点のことを焦点といいます。

Read More

楕円のy座標が最小となる点は？

「2定点$A(0,5),B(4,8)$それぞれからの距離の和が$6$である楕円の方程式を求めよ。また、この楕円上のy座標が最小となる点の座標を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

Read More

楕円の焦点から引いた垂線の長さは？

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=0\ (a>b>0)$の焦点の1つ$\text{F}$から長軸に垂直な直線を引きます。この垂線と楕円の交点を$\text{P}$とするとき、線分$\text{FP}$の長さはどうなるでしょうか？

Read More

楕円の長軸と短軸の各部分の長さは？

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$の長軸と短軸はx軸とy軸です。
この長軸と短軸そのものの長さや、焦点で区切られた線分の長さはどうなっているのでしょうか？

Read More

主軸がx軸でもy軸でもない楕円の方程式はどうなる？

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$の主軸はx軸とy軸です。
では、主軸がx軸とy軸でない楕円とはどのような方程式で表されるのでしょうか？

Read More

楕円の接線の方程式

　楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上の点$(p,q)$における接線の方程式は

\[\large\frac{px}{a^2}+\frac{qy}{b^2}=1\]

となります。

なぜ、このような式になるのでしょうか？

Read More