楕円のy座標が最小となる点は？ ~ 数学について考えてみる

2023年3月15日

楕円のy座標が最小となる点は？

PLUMBAGO

「2定点

$A(0,5),B(4,8)$ それぞれからの距離の和が

$6$ である楕円の方程式を求めよ。また、この楕円上のy座標が最小となる点の座標を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　楕円は2定点からの距離の和が一定となるように動く点の軌跡なので

$\sqrt{x^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}=6$

楕円上の点

$(x,y)$ は常に上式を満たします。

これを変形して楕円の方程式を求めます。

$\sqrt{x^2+(y-5)^2}=6-\sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}$

両辺を2乗して

$\begin{align*}x^2+(y-5)^2&=36-12\sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}+(x-4)^2+(y-8)^2\\[0.5em]-8x-6y+91&=12\sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}\end{align*}$

両辺を2乗して

$\begin{align*}&64x^2+36y^2+96xy-1456x-1092y+8281\\ &\quad=144\{(x-4)^2+(y-8)^2\}\\[0.5em]&80x^2+108y^2-96xy+304x-1212y+3239=0\end{align*}$

これが求める楕円の方程式となります。

　この方程式が描く楕円のy座標が最小となる点を求めるには、楕円の方程式を

$y$ について降べきの順に並べ替えます。

$\begin{align*}108y^2-96xy-1212y+80x^2+304x+3239&=0\\[0.5em]108y^2-(96x+1212)y+80x^2+304x+3239&=0\end{align*}$

これを2次方程式の解の公式を使って

$y$ について解きます。

$\begin{align*}y&=\frac{48x+606\pm\sqrt{(48x+606)^2-108(80x^2+304x+3239)}}{108}\\[0.5em]y&=\frac{6(8x+101)\pm6\sqrt{(8x+101)^2-3(80x^2+304x+3239)}}{6\cdot18}\\[0.5em]y&=\frac{8x+101\pm\sqrt{-176x^2+704x+484}}{18}\\[0.5em]y&=\frac{8x+101\pm2\sqrt{-44x^2+176x+121}}{18}\end{align*}$

この式の複号が

$+$ の場合は楕円の上側、

$-$ の場合は楕円の下側を表します。

また、楕円の方程式において

$x$ の値は根号部分が実数でなければならない、すなわち

$-44x^2+176x+121\geqq0\quad\cdots(1)$ を満たす必要があります。

$(1)$ を解くと

$x$ の変域は

$\begin{align*}4x^2-16x-11&\leqq0\\[0.5em]4x^2-16x-11&=0において\\ x&=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot(-11)}}{4}\\[0.5em]&=\frac{4\pm3\sqrt{3}}{2}なので\\[0.5em]\frac{4-3\sqrt{3}}{2}&\leqq x\leqq\frac{4+3\sqrt{3}}{2}\end{align*}$

であるとわかります。

楕円のy座標が最小となる点は楕円の下側に存在するため、

$y=\frac{8x+101-2\sqrt{-44x^2+176x+121}}{18}$

に着目します。

$x$ で微分すると

$\begin{align*}y'&=\frac{1}{18}\left(8x+101-2\sqrt{-44x^2+176x+121}\right)'\\[0.5em]y'&=\frac{1}{18}\left\{8-2\cdot\frac{(-44x^2+176x+121)'}{2\sqrt{-44x^2+176x+121}}\right\}\\[0.5em]y'&=\frac{1}{18}\left(8+\frac{88x-176}{\sqrt{-44x^2+176x+121}}\right)\\[0.5em]y'&=\frac{4}{9}+\frac{44x-88}{9\sqrt{-44x^2+176x+121}}\end{align*}$

$y'=0$ のときの

$x$ は

$\begin{align*}&\frac{4}{9}+\frac{44x-88}{9\sqrt{-44x^2+176x+121}}=0\\[0.5em]&1+\frac{11x-22}{\sqrt{-44x^2+176x+121}}=0\\[0.5em]&\frac{11x-22}{\sqrt{-44x^2+176x+121}}=-1\\[0.5em]&11x-22=-\sqrt{-44x^2+176x+121}\end{align*}$

両辺を2乗すると、

$(1)$ より

$\begin{align*}121x^2-484x+484&=-44x^2+176x+121\\[0.5em]165x^2-660x+363&=0\\[0.5em]5x^2-20x+11&=0\\[0.5em]x&=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-5\cdot11}}{5}\\[0.5em]&=\frac{10\pm3\sqrt{5}}{5}\end{align*}$

代入して確かめてみると

$y'=0$ を満たす

$x$ は

$x=\dfrac{10-3\sqrt{5}}{5}$ だけです。

増減表は以下のようになり、

$x=\dfrac{10-3\sqrt{5}}{5}$ で極小値

$\dfrac{13-2\sqrt{5}}{2}$ をとり、これが最小値となることがわかります。