楕円のy座標が最小となる点は？ ~ 数学について考えてみる

2023年3月15日

楕円のy座標が最小となる点は？

PLUMBAGO

「2定点

A (0, 5), B (4, 8)

$A(0,5),B(4,8)$ それぞれからの距離の和が

6

$6$ である楕円の方程式を求めよ。また、この楕円上のy座標が最小となる点の座標を求めよ。」

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか？

　楕円は2定点からの距離の和が一定となるように動く点の軌跡なので

\sqrt{x^{2} + (y - 5)^{2}} + \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 8)^{2}} = 6

$\sqrt{x^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}=6$

楕円上の点

(x, y)

$(x,y)$ は常に上式を満たします。

これを変形して楕円の方程式を求めます。

\sqrt{x^{2} + (y - 5)^{2}} = 6 - \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 8)^{2}}

$\sqrt{x^2+(y-5)^2}=6-\sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}$

両辺を2乗して

\begin{aligned} x^{2} + (y - 5)^{2} & = 36 - 12 \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 8)^{2}} + (x - 4)^{2} + (y - 8)^{2} \\ - 8 x - 6 y + 91 & = 12 \sqrt{(x - 4)^{2} + (y - 8)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align*}x^2+(y-5)^2&=36-12\sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}+(x-4)^2+(y-8)^2\\[0.5em]-8x-6y+91&=12\sqrt{(x-4)^2+(y-8)^2}\end{align*}$

両辺を2乗して

\begin{aligned} 64 x^{2} + 36 y^{2} + 96 x y - 1456 x - 1092 y + 8281 \\ = 144 {(x - 4)^{2} + (y - 8)^{2}} \\ 80 x^{2} + 108 y^{2} - 96 x y + 304 x - 1212 y + 3239 = 0 \end{aligned}

$\begin{align*}&64x^2+36y^2+96xy-1456x-1092y+8281\\ &\quad=144\{(x-4)^2+(y-8)^2\}\\[0.5em]&80x^2+108y^2-96xy+304x-1212y+3239=0\end{align*}$

これが求める楕円の方程式となります。

　この方程式が描く楕円のy座標が最小となる点を求めるには、楕円の方程式を

y

$y$ について降べきの順に並べ替えます。

\begin{aligned} 108 y^{2} - 96 x y - 1212 y + 80 x^{2} + 304 x + 3239 & = 0 \\ 108 y^{2} - (96 x + 1212) y + 80 x^{2} + 304 x + 3239 & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*}108y^2-96xy-1212y+80x^2+304x+3239&=0\\[0.5em]108y^2-(96x+1212)y+80x^2+304x+3239&=0\end{align*}$

これを2次方程式の解の公式を使って

y

$y$ について解きます。

\begin{aligned} y & = \frac{48 x + 606 \pm \sqrt{(48 x + 606)^{2} - 108 (80 x^{2} + 304 x + 3239)}}{108} \\ y & = \frac{6 (8 x + 101) \pm 6 \sqrt{(8 x + 101)^{2} - 3 (80 x^{2} + 304 x + 3239)}}{6 \cdot 18} \\ y & = \frac{8 x + 101 \pm \sqrt{- 176 x^{2} + 704 x + 484}}{18} \\ y & = \frac{8 x + 101 \pm 2 \sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121}}{18} \end{aligned}

$\begin{align*}y&=\frac{48x+606\pm\sqrt{(48x+606)^2-108(80x^2+304x+3239)}}{108}\\[0.5em]y&=\frac{6(8x+101)\pm6\sqrt{(8x+101)^2-3(80x^2+304x+3239)}}{6\cdot18}\\[0.5em]y&=\frac{8x+101\pm\sqrt{-176x^2+704x+484}}{18}\\[0.5em]y&=\frac{8x+101\pm2\sqrt{-44x^2+176x+121}}{18}\end{align*}$

この式の複号が

+

$+$ の場合は楕円の上側、

-

$-$ の場合は楕円の下側を表します。

また、楕円の方程式において

x

$x$ の値は根号部分が実数でなければならない、すなわち

- 44 x^{2} + 176 x + 121 ≧ 0 \dots (1)

$-44x^2+176x+121\geqq0\quad\cdots(1)$ を満たす必要があります。

(1)

$(1)$ を解くと

x

$x$ の変域は

\begin{aligned} 4 x^{2} - 16 x - 11 & ≦ 0 \\ 4 x^{2} - 16 x - 11 & = 0 に お い て \\ x & = \frac{8 \pm \sqrt{(- 8)^{2} - 4 \cdot (- 11)}}{4} \\ = \frac{4 \pm 3 \sqrt{3}}{2} な の で \\ \frac{4 - 3 \sqrt{3}}{2} & ≦ x ≦ \frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2} \end{aligned}

$\begin{align*}4x^2-16x-11&\leqq0\\[0.5em]4x^2-16x-11&=0において\\ x&=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot(-11)}}{4}\\[0.5em]&=\frac{4\pm3\sqrt{3}}{2}なので\\[0.5em]\frac{4-3\sqrt{3}}{2}&\leqq x\leqq\frac{4+3\sqrt{3}}{2}\end{align*}$

であるとわかります。

楕円のy座標が最小となる点は楕円の下側に存在するため、

y = \frac{8 x + 101 - 2 \sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121}}{18}

$y=\frac{8x+101-2\sqrt{-44x^2+176x+121}}{18}$

に着目します。

x

$x$ で微分すると

\begin{aligned} y^{'} & = \frac{1}{18} {(8 x + 101 - 2 \sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121})}^{'} \\ y^{'} & = \frac{1}{18} {8 - 2 \cdot \frac{(- 44 x^{2} + 176 x + 121)^{'}}{2 \sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121}}} \\ y^{'} & = \frac{1}{18} (8 + \frac{88 x - 176}{\sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121}}) \\ y^{'} & = \frac{4}{9} + \frac{44 x - 88}{9 \sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121}} \end{aligned}

$\begin{align*}y'&=\frac{1}{18}\left(8x+101-2\sqrt{-44x^2+176x+121}\right)'\\[0.5em]y'&=\frac{1}{18}\left\{8-2\cdot\frac{(-44x^2+176x+121)'}{2\sqrt{-44x^2+176x+121}}\right\}\\[0.5em]y'&=\frac{1}{18}\left(8+\frac{88x-176}{\sqrt{-44x^2+176x+121}}\right)\\[0.5em]y'&=\frac{4}{9}+\frac{44x-88}{9\sqrt{-44x^2+176x+121}}\end{align*}$

y^{'} = 0

$y'=0$ のときの

x

$x$ は

\begin{aligned} \frac{4}{9} + \frac{44 x - 88}{9 \sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121}} = 0 \\ 1 + \frac{11 x - 22}{\sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121}} = 0 \\ \frac{11 x - 22}{\sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121}} = - 1 \\ 11 x - 22 = - \sqrt{- 44 x^{2} + 176 x + 121} \end{aligned}

$\begin{align*}&\frac{4}{9}+\frac{44x-88}{9\sqrt{-44x^2+176x+121}}=0\\[0.5em]&1+\frac{11x-22}{\sqrt{-44x^2+176x+121}}=0\\[0.5em]&\frac{11x-22}{\sqrt{-44x^2+176x+121}}=-1\\[0.5em]&11x-22=-\sqrt{-44x^2+176x+121}\end{align*}$

両辺を2乗すると、

(1)

$(1)$ より

\begin{aligned} 121 x^{2} - 484 x + 484 & = - 44 x^{2} + 176 x + 121 \\ 165 x^{2} - 660 x + 363 & = 0 \\ 5 x^{2} - 20 x + 11 & = 0 \\ x & = \frac{10 \pm \sqrt{(- 10)^{2} - 5 \cdot 11}}{5} \\ = \frac{10 \pm 3 \sqrt{5}}{5} \end{aligned}

$\begin{align*}121x^2-484x+484&=-44x^2+176x+121\\[0.5em]165x^2-660x+363&=0\\[0.5em]5x^2-20x+11&=0\\[0.5em]x&=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-5\cdot11}}{5}\\[0.5em]&=\frac{10\pm3\sqrt{5}}{5}\end{align*}$

代入して確かめてみると