正多角形の内角と外角の大きさの比

　正多角形の内角と外角の大きさの比はどのようになるのでしょうか？

　正$n$角形の1つの内角の大きさは$\dfrac{n-2}{n}×180°$で求めることができます。

関連：多角形の内角の和と正多角形の1つの内角の大きさ

そして、1つの内角と1つの外角の和は$180°$となることから、1つの外角の大きさは

$$\begin{align*}180°-\frac{n-2}{n}×180°&=\left(1-\frac{n-2}{n}\right)×180°\\[0.5em]&=\left(\frac{n}{n}-\frac{n-2}{n}\right)×180°\\[0.5em]&=\frac{n-(n-2)}{n}×180°\\[0.5em]&=\frac{2}{n}×180°\\[0.5em]&=\frac{360°}{n}\end{align*}$$

となります。

したがって、正$n$角形の1つの内角と外角の大きさの比は

$$\begin{align*}\frac{n-2}{n}×180°:\frac{2}{n}×180°&=(n-2)×180°:2×180°\\[0.5em]&=(n-2):2\end{align*}$$

となります。

　正$n$角形の内角の和と外角の和の比も、内角の和は内角が頂点の数だけあるので1つの内角の大きさ $$\dfrac{n-2}{n}×180°$$ を$n$倍した$(n-2)×180°$、外角の和は1つの外角の大きさ$\dfrac{360°}{n}$を$n$倍した$360°$なので、

$$\begin{align*}(n-2)×180°:360°&=(n-2)×180°:2×180°\\[0.5em]&=(n-2):2\end{align*}$$

と同様の比となります。

　正多角形の内、いくつかの内角と外角の大きさの比は以下のようになります。

$$\begin{align*}正三角形&(n=3)&\Longrightarrow1:2\\[1em]正方形&(n=4)&\Rightarrow2:2=1:1\\[1em]正五角形&(n=5)&\Longrightarrow3:2\\[1em]正六角形&(n=6)&\Rightarrow4:2=2:1\\[1em]正十二角形&(n=12)&\Rightarrow10:2=5:1\\[1em]正十五角形&(n=15)&\Longrightarrow13:2\end{align*}$$

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