「次の不等式を解け。
(1)(x+2)3<8(x+2)3<8
(2)(x+1)2(x−2)≦0(x+1)2(x−2)≦0
(3)x(x+2)(x−5)>0x(x+2)(x−5)>0」
積の正負から解く方法とグラフから解く方法の2通りで解いてみます。
(1)(x+2)3<8(x+2)3<8
1. 積の正負から解く
移項した(x+2)3−8<0(x+2)3−8<0を因数分解します。
左辺は
(x+2)3−8=(x+2)3−23a=x+2,b=2とおくとa3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)より(x+2)3−23=(x+2)−2(x+2)2+2(x+2)+22=x(x2+6x+12)(x+2)3−8=(x+2)3−23a=x+2,b=2とおくとa3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)より(x+2)3−23=(x+2)−2(x+2)2+2(x+2)+22=x(x2+6x+12)
と因数分解できるので
x(x2+6x+12)<0x(x2+6x+12)<0となります。
ここで、積の正負について考えると以下のようになります。
(正)×(正)=(正)(正)×(負)=(負)(負)×(正)=(負)(負)×(負)=(正)(正)×(正)=(正)(正)×(負)=(負)(負)×(正)=(負)(負)×(負)=(正)
これを踏まえると、不等式が成り立つためには「x<0x<0かつx2+6x+12>0x2+6x+12>0」または「x>0x>0かつx2+6x+12<0x2+6x+12<0」のいずれかが成り立つことが条件となります。
1-1. x<0x<0かつx2+6x+12>0x2+6x+12>0
x2+6x+12x2+6x+12を平方完成すると
x2+6x+12=(x2+6x+9)−9+12=(x+3)2+3x2+6x+12=(x2+6x+9)−9+12=(x+3)2+3
となるから最小値が33、すなわち常にx2+6x+12>0x2+6x+12>0であるので、すべての実数xxにおいて成り立ちます。
x<0x<0とx2+6x+12>0x2+6x+12>0は「かつ」で結ばれているので、2つのxxの範囲の共通部分が不等式の解となります。
したがって、「x<0x<0かつx2+6x+12>0x2+6x+12>0」を満たすxxの範囲はx<0x<0となります。
1-2. x>0x>0かつx2+6x+12<0x2+6x+12<0
x2+6x+12<0x2+6x+12<0を解くと解なしとなります。これは常にx2+6x+12>0x2+6x+12>0が成り立つことからもわかります。
x2+6x+12<0x2+6x+12<0が成り立たないので「x>0x>0かつx2+6x+12<0x2+6x+12<0」が成り立つようなxxは存在しないことになります。
1-1.、1-2.より(x+2)3<8(x+2)3<8の解はx<0x<0であるとわかります。
2. グラフから解く
y=(x+2)3y=(x+2)3とy=8y=8のグラフを考えます。
y=(x+2)3y=(x+2)3は
y=x3y=x3のグラフをx軸方向に
−2−2だけ平行移動したもの、
y=8y=8はすべてのy座標が
88の点を通る直線なのでグラフは以下のようになります。
y=(x+2)3y=(x+2)3のグラフのうち、y<8y<8となる部分が存在するxxの範囲が不等式の解となります。グラフからx<0x<0と読み取れるので、これが解となります。
(2)(x+1)2(x−2)≦0(x+1)2(x−2)≦0
1. 積の正負から解く
不等式が成り立つためには「(x+1)2≦0(x+1)2≦0かつx−2≧0x−2≧0」または「(x+1)2≧0(x+1)2≧0かつx−2≦0x−2≦0」のいずれかが成り立つことが条件となります。
1-1. (x+1)2≦0(x+1)2≦0かつx−2≧0x−2≧0
(x+1)2≦0(x+1)2≦0において成り立つのは(x+1)2=0(x+1)2=0のみなので、x+1=0x+1=0すなわちx=−1x=−1が解となります。
x−2≧0x−2≧0を解くとx≧2x≧2です。
これらの共通部分はないので、「(x+1)2≦0(x+1)2≦0かつx−2≧0x−2≧0」を満たすxxは存在しません。
1-2. (x+1)2≧0(x+1)2≧0かつx−2≦0x−2≦0
(x+1)2≧0(x+1)2≧0、これは2乗の性質そのままなので、すべての実数xxにおいて成り立ちます。
x−2≦0x−2≦0を解くとx≦2です。
これらの共通部分はx≦2なので、これが「(x+1)2≧0かつx−2≦0」を満たすxの範囲となります。
1-1.、1-2より(x+1)2(x−2)≦0の解はx≦2であるとわかります。
2. グラフから解く
y=(x+1)2(x−2)のグラフは以下のようになります。
このグラフのy≦0の部分が存在するxの範囲はx≦2で、これが(x+1)2(x−2)≦0の解となります。
(3)x(x+2)(x−5)>0
1. 積の正負から解く
(1)、(2)とは異なり因数が3つありますが、x(x+2)とx−5のように2つに分けて解くことができます。
不等式が成り立つためには「x(x+2)<0かつx−5<0」または「x(x+2)>0かつx−5>0」のいずれかが成り立つことが条件となります。
1-1. x(x+2)<0かつx−5<0
x(x+2)<0を解くと−2<x<0となります。
x−5<0を解くとx<5です。
これらの共通部分は−2<x<0なので、これが「x(x+2)<0かつx−5<0」を満たすxの範囲となります。
1-2. x(x+2)>0かつx−5>0
x(x+2)>0を解くとx<−2,0<xとなります。
x−5>0を解くとx>5です。
これらの共通部分はx>5なので、これが「x(x+2)>0かつx−5>0」を満たすxの範囲となります。
1-1.、1-2.よりx(x+2)(x−5)>0の解は−2<x<0またはx>5であるとわかります。(−2x<0,5<xのように並列して書くこともできます。)
2. グラフから解く
y=x(x+2)(x−5)のグラフは以下のようになります。
このグラフのy>0の部分が存在するxの範囲は−2x<0,5<xで、これがx(x+2)(x−5)>0の解となります。
a>0,b=0のとき、y=a(x−α)2(x−β)のx軸との共有点のうち、x=αである共有点はグラフの極値を持つ点(凹部または凸部の先端部)に存在します。
凹部か凸部のどちらになるのかはもう1つの共有点のx座標x=βとの大小関係で決まります。α<βのときは凹部、α>βのときは凸部のほうとなります。