3次不等式を解く

「次の不等式を解け。

(1)$\large (x+2)^3<8$

(2)$\large (x+1)^2(x-2)\leqq0$

(3)$\large x(x+2)(x-5)>0$」

積の正負から解く方法とグラフから解く方法の2通りで解いてみます。

(1)$(x+2)^3<8$

1. 積の正負から解く

　移項した$(x+2)^3-8<0$を因数分解します。

左辺は

$$\begin{align*}(x+2)^3-8&=(x+2)^3-2^3\\[0.5em]a=x+2,b=2とおくと\\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)より\\ (x+2)^3-2^3&={(x+2)-2}{(x+2)^2+2(x+2)+2^2}\\[0.5em]&=x(x^2+6x+12)\end{align*}$$

と因数分解できるので$x(x^2+6x+12)<0$となります。

ここで、積の正負について考えると以下のようになります。

$$\begin{align*}(正)×(正)&=(正)&(正)×(負)&=(負)\\[0.5em](負)×(正)&=(負)&(負)×(負)&=(正)\end{align*}$$

これを踏まえると、不等式が成り立つためには「$x<0$かつ$x^2+6x+12>0$」または「$x>0$かつ$x^2+6x+12<0$」のいずれかが成り立つことが条件となります。

1-1. $x<0$かつ$x^2+6x+12>0$

　$x^2+6x+12$を平方完成すると
$$\begin{align*}x^2+6x+12&=(x^2+6x+9)-9+12\\[0.5em]&=(x+3)^2+3\end{align*}$$
となるから最小値が$3$、すなわち常に$x^2+6x+12>0$であるので、すべての実数$x$において成り立ちます。

$x<0$と$x^2+6x+12>0$は「かつ」で結ばれているので、2つの$x$の範囲の共通部分が不等式の解となります。

したがって、「$x<0$かつ$x^2+6x+12>0$」を満たす$x$の範囲は$x<0$となります。

1-2. $x>0$かつ$x^2+6x+12<0$

　$x^2+6x+12<0$を解くと解なしとなります。これは常に$x^2+6x+12>0$が成り立つことからもわかります。

$x^2+6x+12<0$が成り立たないので「$x>0$かつ$x^2+6x+12<0$」が成り立つような$x$は存在しないことになります。

　1-1.、1-2.より$(x+2)^3<8$の解は$x<0$であるとわかります。

2. グラフから解く

　$y=(x+2)^3$と$y=8$のグラフを考えます。

$y=(x+2)^3$は$y=x^3$のグラフをx軸方向に$-2$だけ平行移動したもの、$y=8$はすべてのy座標が$8$の点を通る直線なのでグラフは以下のようになります。

$y=(x+2)^3$のグラフのうち、$y<8$となる部分が存在する$x$の範囲が不等式の解となります。グラフから$x<0$と読み取れるので、これが解となります。

(2)$(x+1)^2(x-2)\leqq0$

1. 積の正負から解く

　不等式が成り立つためには「$(x+1)^2\leqq0$かつ$x-2\geqq0$」または「$(x+1)^2\geqq0$かつ$x-2\leqq0$」のいずれかが成り立つことが条件となります。

1-1. $(x+1)^2\leqq0$かつ$x-2\geqq0$

　$(x+1)^2\leqq0$において成り立つのは$(x+1)^2=0$のみなので、$x+1=0$すなわち$x=-1$が解となります。

$x-2\geqq0$を解くと$x\geqq2$です。

これらの共通部分はないので、「$(x+1)^2\leqq0$かつ$x-2\geqq0$」を満たす$x$は存在しません。

1-2. $(x+1)^2\geqq0$かつ$x-2\leqq0$

　$(x+1)^2\geqq0$、これは2乗の性質そのままなので、すべての実数$x$において成り立ちます。

$x-2\leqq0$を解くと$x\leqq2$です。

これらの共通部分は$x\leqq2$なので、これが「$(x+1)^2\geqq0$かつ$x-2\leqq0$」を満たす$x$の範囲となります。

1-1.、1-2より$(x+1)^2(x-2)\leqq0$の解は$x\leqq2$であるとわかります。

2. グラフから解く

　$y=(x+1)^2(x-2)$のグラフは以下のようになります。

このグラフの$y\leqq0$の部分が存在する$x$の範囲は$x\leqq2$で、これが$(x+1)^2(x-2)\leqq0$の解となります。

(3)$x(x+2)(x-5)>0$

1. 積の正負から解く

　(1)、(2)とは異なり因数が3つありますが、$x(x+2)$と$x-5$のように2つに分けて解くことができます。

不等式が成り立つためには「$x(x+2)<0$かつ$x-5<0$」または「$x(x+2)>0$かつ$x-5>0$」のいずれかが成り立つことが条件となります。

1-1. $x(x+2)<0$かつ$x-5<0$

　$x(x+2)<0$を解くと$-2<x<0$となります。

$x-5<0$を解くと$x<5$です。

これらの共通部分は$-2<x<0$なので、これが「$x(x+2)<0$かつ$x-5<0$」を満たす$x$の範囲となります。

1-2. $x(x+2)>0$かつ$x-5>0$

　$x(x+2)>0$を解くと$x<-2,0<x$となります。

$x-5>0$を解くと$x>5$です。

これらの共通部分は$x>5$なので、これが「$x(x+2)>0$かつ$x-5>0$」を満たす$x$の範囲となります。

1-1.、1-2.より$x(x+2)(x-5)>0$の解は$-2<x<0$または$x>5$であるとわかります。（$-2x<0,5<x$のように並列して書くこともできます。）

2. グラフから解く

　$y=x(x+2)(x-5)$のグラフは以下のようになります。

このグラフの$y>0$の部分が存在する$x$の範囲は$-2x<0,5<x$で、これが$x(x+2)(x-5)>0$の解となります。

　3次関数のグラフの形は以下の図のようになります。

$a>0,b=0$のとき、$y=a(x-\alpha)^2(x-\beta)$のx軸との共有点のうち、$x=\alpha$である共有点はグラフの極値を持つ点（凹部または凸部の先端部）に存在します。

凹部か凸部のどちらになるのかはもう1つの共有点のx座標$x=\beta$との大小関係で決まります。$\alpha<\beta$のときは凹部、$\alpha>\beta$のときは凸部のほうとなります。

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