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2023年4月2日

弧の長さと半径からおうぎ形の面積を求める

「半径が4[cm]4[cm]、弧の長さが7[cm]7[cm]であるおうぎ形の面積を求めよ。円周率はππとする。」


 まずはおうぎ形の弧の長さと面積の公式を利用して解いてみます。

おうぎ形の弧の長さをll、面積をSS、半径をrr、中心角をA°A°とおくとおうぎ形の弧の長さと面積を求める公式はそれぞれ以下のようになります。
l=2πr×A360S=πr2×A360l=2πr×A360S=πr2×A360

しかし、おうぎ形の中心角がわからないので公式から面積を求めることができません。
そこで、おうぎ形の弧の長さはわかっているので、おうぎ形の弧の長さの公式からおうぎ形の弧の長さでも面積でも共通しているA360A360を求めます。
弧の長さは公式より
2×4×π×A360=8π×A360=72×4×π×A360=8π×A360=7
となります。
これをA360A360について解くと、
A360=78πA360=78π
となります。

 したがって、おうぎ形の面積は公式より
π×42×78π=14π×42×78π=14
なので、14[cm^2]14[cm^2]であるとわかります。


 次はおうぎ形の半径と弧の長さだけで直接面積を求めることができる公式をつくってから求めてみます。

先述の通り、おうぎ形の弧の長さと面積を求める公式はそれぞれ
l=2πr×A360S=πr2×A360l=2πr×A360S=πr2×A360
です。

ここで弧の長さの公式の両辺を22で割ると
12l=πr×A36012l=πr×A360
となります。

これをおうぎ形の面積の公式を少し変形して代入すると
S=r×(πr×A360)=r×12lS=12lrS=r×(πr×A360)=r×12lS=12lr
となります。
 したがって、求めるおうぎ形の面積は
S=12×7×4=14S=12×7×4=14
となり、14[cm^2]14[cm^2]であるとわかります。

まとめ

 おうぎ形の弧の長さと面積の公式は
l=2πr×A360S=πr2×A360=12lr(r:,A:[°],l:,S:)l=2πr×A360S=πr2×A360=12lr(r:,A:[°],l:,S:)

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