「半径が$4[\mathrm{cm}]$、弧の長さが$7[\mathrm{cm}]$であるおうぎ形の面積を求めよ。円周率は$\pi$とする。」
まずはおうぎ形の弧の長さと面積の公式を利用して解いてみます。
おうぎ形の弧の長さを$l$、面積を$S$、半径を$r$、中心角を$A°$とおくとおうぎ形の弧の長さと面積を求める公式はそれぞれ以下のようになります。
\begin{align*}l&=2\pi
r×\frac{A}{360}\\[0.5em]S&=\pi r^2×\frac{A}{360}\end{align*}
しかし、おうぎ形の中心角がわからないので公式から面積を求めることができません。
そこで、おうぎ形の弧の長さはわかっているので、おうぎ形の弧の長さの公式からおうぎ形の弧の長さでも面積でも共通している$\dfrac{A}{360}$を求めます。
弧の長さは公式より
\[2×4×\pi×\frac{A}{360}=8\pi×\frac{A}{360}=7\]
となります。
これを$\dfrac{A}{360}$について解くと、
\[\frac{A}{360}=\frac{7}{8\pi}\]
となります。
したがって、おうぎ形の面積は公式より
\[\pi×4^2×\frac{7}{8\pi}=14\]
なので、$14[\mathrm{cm^2}]$であるとわかります。
次はおうぎ形の半径と弧の長さだけで直接面積を求めることができる公式をつくってから求めてみます。
先述の通り、おうぎ形の弧の長さと面積を求める公式はそれぞれ
\begin{align*}l&=2\pi
r×\frac{A}{360}\\[0.5em]S&=\pi r^2×\frac{A}{360}\end{align*}
です。
ここで弧の長さの公式の両辺を$2$で割ると
\[\frac{1}{2}l=\pi
r×\frac{A}{360}\]
となります。
これをおうぎ形の面積の公式を少し変形して代入すると
\begin{align*}S&=r×\left(\pi
r×\frac{A}{360}\right)\\[0.5em]&=r×\frac{1}{2}l\\[0.5em]\therefore
S&=\frac{1}{2}lr\end{align*}
となります。
したがって、求めるおうぎ形の面積は
\[S=\frac{1}{2}×7×4=14\]
となり、$14[\mathrm{cm^2}]$であるとわかります。まとめ
おうぎ形の弧の長さと面積の公式は
\begin{align*}l&=2\pi r×\frac{A}{360}\\[1.5em]S&=\pi
r^2×\frac{A}{360}\\[0.5em]&=\frac{1}{2}lr\\
&(r:半径,A:中心角[°],l:弧の長さ,S:面積)\end{align*}
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