(1)3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots}}}
(2)-2+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}」
このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?
(1)3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots}}}
したがって、
連分数は、整数の項と分数の項の2つで構成されていますが、整数の項は元の数の整数部分、分数の項は小数部分となっています。このように決めないと複数の数が同じ連分数で表されてしまい、区別ができなくなってしまうためです。
このことから、(1)の連分数の整数の項は自然数の3なので、元の数もまた正の数であることがわかります。
3<\sqrt{13}<4であることを考えると、\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}は負の数、\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}は正の数であることがわかるので、(1)の連分数が表す数は\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}となります。
\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}が解に出てくるのは、連分数展開する際のルールを無視すると(1)と同じ連分数で表すことができるためです。
(2)-2+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}
両辺に4を加えると
1<\sqrt{2}<2\quad\cdots(c)より-2<-\sqrt{2}<-1\quad\cdots(d)
\text{(c)}の各辺に-3を加えると-2<-3+\sqrt{2}<-1なので、-3+\sqrt{2}の整数部分は-2
\text{(d)}の各辺に-3を加えると-5<-3-\sqrt{2}<-4なので、-3-\sqrt{2}の整数部分は-5
以上より、整数部分が-2となるのは-3+\sqrt{2}なので、これが(2)の連分数が表す数であることがわかります。