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2023年4月6日

連分数で表された数はどんな数?

「次の連分数が表す数を求めよ。

(1)3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots}}}

(2)-2+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}

このような問題はどのように解けばよいのでしょうか?


連分数とは、分数の分母に分数を含む数のことです。実数を連分数の形で表すことを連分数展開といいます。
問題となっている連分数の分母は、同じ形が無限に続いています。

(1)3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots}}}

x=3+\frac{1}{3+\frac{1}{3+\frac{1}{\ddots}}} \tag{a}
とおき、分母に着目すると分母もxと同じ連分数になっていることがわかります。
したがって、
x=3+\frac{1}{x}
と書くことができます。
両辺にxを掛け、整理すると
\begin{align*}x^2&=3x+1\\[0.5em]x^2-3x-1&=0\end{align*}
という2次方程式になります。これを解の公式で解くと
\begin{align*}x&=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}\\[0.5em]&=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\end{align*}
となります。
 \text{(a)}の解は(1)の答えでもありますが、2つとも(1)の連分数が表す数であるというわけではありません。どちらが連分数が表す数であるかを判別するには、連分数展開する際のルールを知る必要があります。

 連分数は、整数の項と分数の項の2つで構成されていますが、整数の項は元の数の整数部分、分数の項は小数部分となっています。このように決めないと複数の数が同じ連分数で表されてしまい、区別ができなくなってしまうためです。

このことから、(1)の連分数の整数の項は自然数の3なので、元の数もまた正の数であることがわかります。
3<\sqrt{13}<4であることを考えると、\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}は負の数、\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}は正の数であることがわかるので、(1)の連分数が表す数は\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}となります。

\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}が解に出てくるのは、連分数展開する際のルールを無視すると(1)と同じ連分数で表すことができるためです。


(2)-2+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}

x=-2+\cfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}\tag{b}
とおきます。
両辺に4を加えると
x+4=2+\cfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}
となります。すると、\text{(b)}の分母はx+4と同じ連分数なので、
x=-2+\frac{1}{x+4}
と書けます。
両辺にx+4を掛け、xについて解くと
\begin{align*}x(x+4)&=-2(x+4)+1\\[0.5em]x^2+4x&=-2x-7\\[0.5em]x^2+6x+7&=0\\[0.5em]x&=-3\pm\sqrt{2}\end{align*}
(2)の連分数の整数の項は-2なので、元の数の整数部分もまた-2となります。

1<\sqrt{2}<2\quad\cdots(c)より-2<-\sqrt{2}<-1\quad\cdots(d)
\text{(c)}の各辺に-3を加えると-2<-3+\sqrt{2}<-1なので、-3+\sqrt{2}の整数部分は-2
\text{(d)}の各辺に-3を加えると-5<-3-\sqrt{2}<-4なので、-3-\sqrt{2}の整数部分は-5

以上より、整数部分が-2となるのは-3+\sqrt{2}なので、これが(2)の連分数が表す数であることがわかります。


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