\[f(x)=|x|\]
「上の関数$f(x)$を導関数にもつ関数$F(x)$を求めよ。」
導関数$f(x)$と関数$F(x)$の関係は
\[F'(x)=f(x)\]
となります。なので、$F(x)$を求めるには$f(x)$を不定積分をします。
場合分けして絶対値を外すと
\[f(x)=\begin{cases}-x&(x\leqq0)\\[0.5em]x&(x\geqq0)\end{cases}\]
となります。
それぞれ不定積分すると
\begin{align*}f(x)=-x&\qquad(x\leqq0)\\ F_1(x)&=\int(-x)\
dx\\[0.5em]&=-\frac{1}{2}x^2+C_1&(x\leqq0,C_1:積分定数)\\[1.5em]f(x)=x&\qquad(x\geqq0)\\ F_2(x)&=\int x\
dx\\[0.5em]&=\frac{1}{2}x^2+C_2&(x\geqq0,C_2:積分定数)\end{align*}
となります。
ここで、$f(x)=|x|$はすべての実数$x$で$f(x)$が値をもちます。これはつまり関数$F(x)$はすべての実数$x$で微分可能であるということです。
このことと、「関数$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば$f(x)$は$x=a$で連続である」より、$F(x)$はすべての実数$x$で連続であることがわかります。
$F_1(x),F_2(x)$はすべての実数$x$で連続な関数なので、$F(x)$の定義域の境目である$x=0$で連続であれば$F(x)$がすべての実数$x$で連続となります。
そのための条件は
\[\lim_{x\to-0}F_1(x)=\lim_{x\to+0}F_2(x)\]
です。
それぞれの片側極限を調べると
\begin{align*}\lim_{x\to-0}F_1(x)&=\lim_{x\to-0}\left(-\frac{1}{2}x^2+C_1\right)\\[0.5em]&=C_1\\[1.5em]\lim_{x\to+0}F_2(x)&=\lim_{x\to+0}\left(\frac{1}{2}x^2+C_2\right)\\[0.5em]&=C_2\end{align*}
すなわち、$C_1=C_2$となれば良いので、求める関数は
\begin{align*}F(x)=\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2+C&(x\leqq0)\\[0.5em]\frac{1}{2}x^2+C&(x\geqq0)\end{cases}&(C:任意の定数)\end{align*}
となります。
1つにまとめて$F(x)=\dfrac{x|x|}{2}+C$（$C:$任意の定数）と書くこともできます。
(2024/7)最後の$F(x)$が誤っていたので修正しました。申し訳ありません。
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