未知数が3つある連立方程式を解く

「以下の連立方程式を解け。

$$\left\{\begin{array}{rl}x-3y+6z&=-4\\[0.5em]5x+3y-2z&=18\\[0.5em]-x+9y-20z&=15\end{array}\right.$$ 」

　連立方程式を解く流れは

1. 加減法、または代入法を使い文字を1種類だけ消す。このとき、残した文字の種類と同じ数だけの式をつくる。
2. 1.を繰り返して最終的にできた1次方程式を解く。
3. 2.で得た解を1.でつくった式に代入して1次方程式にし、他の文字に当てはまる解を得ていく。

のようになります。

　実際にこの流れに沿って上の連立方程式を解いてみます。

あらかじめ

$$\left\{\begin{array}{rlr}x-3y+6z&=-4&\cdots(1)\\[0.5em]5x+3y-2z&=18&\cdots(2)\\[0.5em]-x+9y-20z&=15&\cdots(3)\end{array}\right.$$

のようにそれぞれの式に番号を振っておきます。

1. 加減法、または代入法を使う

　消す文字はどれからでも構いません。また、加減法と代入法の適当と思われる方法を選択しておこないます。

最初に$x$を消してみます。
$(1),(3)$の$x$の項は足し合わせることで消すことができるので加減法を使って消します。

$$\begin{array}{r}&x&-3y&+6z&=-4\\ +)&-x&+9y&-20z&=15\\ \hline&&6y&-14z&=11\end{array}$$

この筆算は辺々を足し合わせる$(x-3y+6z)+(-x+9y-20z)=-4+15$と同じ計算です。
この結果、$6y-14z=11\ \cdots(4)$を得ます。

$x$を消去すると残りの文字は$y,z$の2種類なのでもう1つ式をつくる必要があります。
このとき、$(4)$をつくる際に使った$(1)$と$(3)$とは異なる組み合わせを選びます。
まだ$(2)$を使って式をつくっていないので、$(2)$の$x$を代入法で消して式をつくります。
$(1)$を$x$について解くと$x=3y-6z-4$となるので、これを$(2)$に代入すると

$$\begin{align*}5(3y-6z-4)+3y-2z&=18\\[0.5em]15y-30z-20+3y-2z&=18\\[0.5em]18y-32z&=38\tag5\end{align*}$$

となります。

　$x$を消去して得た2式$(4),(5)$を使って1次方程式をつくります。

$y$を加減法を使って消去します。

$(4)$の両辺を3倍すると$18y-42z=33$となります。これを$(5)$と辺々を引くと

$$\begin{array}{r}&18y&-42z&=33\\ -)&18y&-32z&=38\\ \hline&&-10z&=-5\end{array}$$

となります。

2. 1次方程式を解く

　1.の最後にできた1次方程式を解くと$z=\dfrac{1}{2}$が得られます。

これを$(4),(5)$のいずれかに代入して$y$を求めます。

3. 他の文字に当てはまる解を求める

　$(4)$に$z=\dfrac{1}{2}$を代入すると

$$\begin{align*}6y-14\cdot\frac{1}{2}&=11\\[0.5em]6y&=18\\[0.5em]y&=3\end{align*}$$

となります。

$(5)$に$z=\dfrac{1}{2}$を代入しても$y=3$を得ます。これは連立した3式の同じ文字に同じ値が入っているという仮定のもとでここまで解いてきたからです。この仮定が間違っていれば、そもそも最初の解$z=\dfrac{1}{2}$を得ることができません。

　次は$y=3,z=\dfrac{1}{2}$を$(1),(2),(3)$のいずれかに代入して$x$を求めます。

$(1)$に代入すると

$$\begin{align*}x-3\cdot3+6\cdot\frac{1}{2}&=-4\\[0.5em]x&=2\end{align*}$$

よって、連立方程式の解は$x=2,y=3,z=\dfrac{1}{2}$であることがわかりました。

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