「$OC=10,AC=15,BC=20,∠OCA=∠OCB=90°$である四面体$OABC$がある。この四面体に以下の条件が加わった場合の$AB$の長さを求めよ。
(1)$∠BAC=90°$
(2)$∠AOB=90°$」
この問題は三平方の定理を利用して解きます。
\[AB^2=BC^2+CA^2\]
という関係があるという定理のことです。
直角三角形の2辺の長さがわかっていれば、これを利用することで残り1辺の長さを求めることができます。
(1)$∠BAC=90°$
この四面体の面のうち、2辺の長さがわかっている直角三角形であるのは面$ABC$です。
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面$ABC$は上図のようになっているので、三平方の定理より
\[BC^2=AB^2+AC^2\]
が成り立ちます。
$AC=15,BC=20$なので、これを代入して$AB$について解けば
\[BC^2=AB^2+AC^2\]
が成り立ちます。
$AC=15,BC=20$なので、これを代入して$AB$について解けば
\begin{align*}20^2&=AB^2+15^2\\[0.5em]400&=AB^2+225\\[0.5em]AB^2&=400-225\\[0.5em]&=175\\[0.5em]AB&=\sqrt{175}&(\because
AB>0)\\[0.5em]&=5\sqrt{7}\end{align*}
となります。
(2)$∠AOB=90°$
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この四面体の面のうち、辺$AB$を含んだ直角三角形の面は面$OAB$ですが、2辺$OA,OB$の長さがわかっていないので、三平方の定理を利用してすぐには$AB$の長さを求めることはできません。
なので、まずは$OA,OB$の長さを求めます。
$OA$を含む直角三角形の面は面$OAC$、$OB$を含む直角三角形の面は面$OBC$なので、それぞれに三平方の定理を使い$OA,OB$の長さを求めます。
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| 展開図の中から面$OAC,OBC$を抜粋 |
面$OAC$において
\[OA^2=OC^2+AC^2\]
が成り立ちます。
$OC=10,AC=15$なので
\[OA^2=OC^2+AC^2\]
が成り立ちます。
$OC=10,AC=15$なので
\begin{align*}OA^2&=10^2+15^2\\[0.5em]&=100+225\\[0.5em]&=325\\[1em]OA&=\sqrt{325}&(\because
OA>0)\\[0.5em]&=5\sqrt{13}\end{align*}
となります。
面$OBC$において
\[OB^2=OC^2+BC^2\]
が成り立ちます。
$OC=10,BC=20$なので、$OB$は
\[OB^2=OC^2+BC^2\]
が成り立ちます。
$OC=10,BC=20$なので、$OB$は
\begin{align*}OB^2&=10^2+20^2\\[0.5em]&=100+400\\[0.5em]&=500\\[1em]OB&=\sqrt{500}&(\because
OB>0)\\[0.5em]&=10\sqrt{5}\end{align*}
となります。
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したがって、面$OAB$において
\[AB^2=OA^2+OB^2\]
が成り立ち、$OA=5\sqrt{13},OB=10\sqrt{5}$なので$AB$は
\[AB^2=OA^2+OB^2\]
が成り立ち、$OA=5\sqrt{13},OB=10\sqrt{5}$なので$AB$は
\begin{align*}AB^2&=325+500\\[0.5em]&=825\\[1em]AB&=\sqrt{825}&(\because
AB>0)\\[0.5em]&=5\sqrt{33}\end{align*}
となります。
面$OAB$における三平方の定理で必要なのは$OA^2,OB^2$の値なので、$OA,OB$の値を求めるところは省いても構いません。
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