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2023年4月8日

三平方の定理を利用して四面体の辺の長さを求める

\text{OC}=10, \text{AC}=15, \text{BC}=20, ∠\text{OCA}=∠\text{OCB}=90°である四面体\text{OABC}がある。この四面体に以下の条件が加わった場合の\text{AB}の長さを求めよ。

(1)∠\text{BAC}=90°

(2)∠\text{AOB}=90°


 この問題は三平方の定理を利用して解きます。
直角三角形ABC
三平方の定理とは辺\text{AB}が斜辺である直角三角形\text{ABC}において3辺の長さには
\text{AB}^2=\text{BC}^2+\text{CA}^2
という関係があるという定理のことです。
直角三角形の2辺の長さがわかっていれば、これを利用することで残り1辺の長さを求めることができます。

(1)∠\text{BAC}=90°

∠BAC=90°を加えた四面体OABC
 この条件が加わった四面体は上図のようになります。
この四面体の面のうち、2辺の長さがわかっている直角三角形であるのは面\text{ABC}です。
△ABC
\text{ABC}は上図のようになっているので、三平方の定理より
\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2

が成り立ちます。
\text{AC}=15, \text{BC}=20なので、これを代入して\text{AB}について解けば
\begin{align*}20^2&=\text{AB}^2+15^2\\[0.5em]400&=\text{AB}^2+225\\[0.5em]\text{AB}^2&=400-225\\[0.5em]&=175\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{175}&(\because \text{AB}>0)\\[0.5em]&=5\sqrt{7}\end{align*}
となります。

(2)∠\text{AOB}=90°

∠AOB=90°を加えた四面体
 この条件が加わった四面体は上図のようになります。
この四面体の面のうち、辺\text{AB}を含んだ直角三角形の面は面\text{OAB}ですが、2辺\text{OA, OB}の長さがわかっていないので、三平方の定理を利用してすぐには\text{AB}の長さを求めることはできません。
なので、まずは\text{OA, OB}の長さを求めます。
\text{OA}を含む直角三角形の面は面\text{OAC}\text{OB}を含む直角三角形の面は面\text{OBC}なので、それぞれに三平方の定理を使い\text{OA, OB}の長さを求めます。
△OACと△OBC
展開図の中から面\text{OAC, OBC}を抜粋
\text{OAC}において
\text{OA}^2=\text{OC}^2+\text{AC}^2

が成り立ちます。
\text{OC}=10, \text{AC}=15なので
\begin{align*}\text{OA}^2&=10^2+15^2\\[0.5em]&=100+225\\[0.5em]&=325\\[1em]\text{OA}&=\sqrt{325}&(\because \text{OA}>0)\\[0.5em]&=5\sqrt{13}\end{align*}
となります。
\text{OBC}において
\text{OB}^2=\text{OC}^2+\text{BC}^2

が成り立ちます。
\text{OC}=10, \text{BC}=20なので、\text{OB}
\begin{align*}\text{OB}^2&=10^2+20^2\\[0.5em]&=100+400\\[0.5em]&=500\\[1em]\text{OB}&=\sqrt{500}&(\because \text{OB}>0)\\[0.5em]&=10\sqrt{5}\end{align*}
となります。
△OAB
したがって、面\text{OAB}において
\text{AB}^2=\text{OA}^2+\text{OB}^2

が成り立ち、\text{OA}=5\sqrt{13}, \text{OB}=10\sqrt{5}なので\text{AB}
\begin{align*}\text{AB}^2&=325+500\\[0.5em]&=825\\[1em]\text{AB}&=\sqrt{825}&(\because \text{AB}>0)\\[0.5em]&=5\sqrt{33}\end{align*}
となります。

\text{OAB}における三平方の定理で必要なのは\text{OA}^2, \text{OB}^2の値なので、\text{OA, OB}の値を求めるところは省いても構いません。


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