三平方の定理を利用して四面体の辺の長さを求める ~ 数学について考えてみる

2023年4月8日

三平方の定理を利用して四面体の辺の長さを求める

PLUMBAGO

「

OC = 10, AC = 15, BC = 20, ∠ OCA = ∠ OCB = 90 °

$\text{OC}=10, \text{AC}=15, \text{BC}=20, ∠\text{OCA}=∠\text{OCB}=90°$ である四面体

OABC

$\text{OABC}$ がある。この四面体に以下の条件が加わった場合の

AB

$\text{AB}$ の長さを求めよ。

(1) $∠\text{BAC}=90°$

(2) $∠\text{AOB}=90°$ 」

　この問題は三平方の定理を利用して解きます。

三平方の定理とは辺

AB

$\text{AB}$ が斜辺である直角三角形

ABC

$\text{ABC}$ において3辺の長さには

{AB}^{2} = {BC}^{2} + {CA}^{2}

$\text{AB}^2=\text{BC}^2+\text{CA}^2$

という関係があるという定理のことです。

直角三角形の2辺の長さがわかっていれば、これを利用することで残り1辺の長さを求めることができます。

(1) $∠\text{BAC}=90°$

　この条件が加わった四面体は上図のようになります。

この四面体の面のうち、2辺の長さがわかっている直角三角形であるのは面

ABC

$\text{ABC}$ です。

面

ABC

$\text{ABC}$ は上図のようになっているので、三平方の定理より

{BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2}

$\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2$
が成り立ちます。

AC = 15, BC = 20

$\text{AC}=15, \text{BC}=20$ なので、これを代入して

AB

$\text{AB}$ について解けば

\begin{aligned} 20^{2} & = {AB}^{2} + 15^{2} \\ 400 & = {AB}^{2} + 225 \\ {AB}^{2} & = 400 - 225 \\ = 175 \\ AB & = \sqrt{175} & (∵ AB > 0) \\ = 5 \sqrt{7} \end{aligned}

$\begin{align*}20^2&=\text{AB}^2+15^2\\[0.5em]400&=\text{AB}^2+225\\[0.5em]\text{AB}^2&=400-225\\[0.5em]&=175\\[0.5em]\text{AB}&=\sqrt{175}&(\because \text{AB}>0)\\[0.5em]&=5\sqrt{7}\end{align*}$

となります。

(2) $∠\text{AOB}=90°$

　この条件が加わった四面体は上図のようになります。

この四面体の面のうち、辺

AB

$\text{AB}$ を含んだ直角三角形の面は面

OAB

$\text{OAB}$ ですが、2辺

OA, OB

$\text{OA, OB}$ の長さがわかっていないので、三平方の定理を利用してすぐには

AB

$\text{AB}$ の長さを求めることはできません。

なので、まずは

OA, OB

$\text{OA, OB}$ の長さを求めます。

OA

$\text{OA}$ を含む直角三角形の面は面

OAC

$\text{OAC}$ 、

OB

$\text{OB}$ を含む直角三角形の面は面

OBC

$\text{OBC}$ なので、それぞれに三平方の定理を使い

OA, OB

$\text{OA, OB}$ の長さを求めます。

展開図の中から面

OAC, OBC

$\text{OAC, OBC}$ を抜粋

面

OAC

$\text{OAC}$ において

{OA}^{2} = {OC}^{2} + {AC}^{2}

$\text{OA}^2=\text{OC}^2+\text{AC}^2$
が成り立ちます。

OC = 10, AC = 15

$\text{OC}=10, \text{AC}=15$ なので

\begin{aligned} {OA}^{2} & = 10^{2} + 15^{2} \\ = 100 + 225 \\ = 325 \\ OA & = \sqrt{325} & (∵ OA > 0) \\ = 5 \sqrt{13} \end{aligned}

$\begin{align*}\text{OA}^2&=10^2+15^2\\[0.5em]&=100+225\\[0.5em]&=325\\[1em]\text{OA}&=\sqrt{325}&(\because \text{OA}>0)\\[0.5em]&=5\sqrt{13}\end{align*}$

となります。

面

OBC

$\text{OBC}$ において

{OB}^{2} = {OC}^{2} + {BC}^{2}

$\text{OB}^2=\text{OC}^2+\text{BC}^2$
が成り立ちます。

OC = 10, BC = 20

$\text{OC}=10, \text{BC}=20$ なので、

OB

$\text{OB}$ は

\begin{aligned} {OB}^{2} & = 10^{2} + 20^{2} \\ = 100 + 400 \\ = 500 \\ OB & = \sqrt{500} & (∵ OB > 0) \\ = 10 \sqrt{5} \end{aligned}

$\begin{align*}\text{OB}^2&=10^2+20^2\\[0.5em]&=100+400\\[0.5em]&=500\\[1em]\text{OB}&=\sqrt{500}&(\because \text{OB}>0)\\[0.5em]&=10\sqrt{5}\end{align*}$

となります。