定積分の性質 King Property

　定積分の性質にKing Propertyと呼ばれるものがあります。
これは

\[\large\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(a+b-x)}dx\]

が成り立つというものです。

なぜこれが成り立つのでしょうか？

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x軸を回転軸とする回転体の体積と定積分

　関数$y=f(x)$のグラフと直線$x=a,x=b$（ただし、$a<b$）とx軸で囲まれた部分をx軸を回転軸として1回転させてできる立体の体積は

\[\large\pi\int^b_a\bigl\{f(x)\bigr\}^2dx\]

で求めることができます。

なぜこれで求めることができるのでしょうか？

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球の中心からどのくらい離れた平面で切断すれば球の1/4の体積の立体を切り取れるか？

　球を平面で2つの立体に切断して、そのうちの1つの立体の体積が球の体積の$\dfrac{1}{4}$となるとき、切断する平面は球の中心からどのくらい離れた位置にあるでしょうか？

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定積分の値が負の値になることがあるのはなぜなのか？

　定積分$\int_a^b{f(x)}dx$はなぜ負の値になることがあるのでしょうか？

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部分積分法

　部分積分法は積分方法の1つです。

\[\large\int f(x)g'(x)\ dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\ dx\]

この公式は積の微分から導くことができます。

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[x]（[ ]：ガウス記号）の定積分

\[\int^3_2[x]\ dx\quad([\ ]:ガウス記号)\]
この定積分はどのような値となるでしょうか？

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f(x)=|x|を導関数にもつ関数を求める

\[f(x)=|x|\]

「上の関数$f(x)$を導関数にもつ関数$F(x)$を求めよ。」

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2つの関数のグラフに挟まれた部分の面積

　区間$a\leqq x\leqq b$において常に$f(x)\geqq g(x)$である2つの関数$y=f(x),y=g(x)$と直線$x=a,x=b$に囲まれた部分の面積$S$は、定積分を利用して

\[S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx\]

で求めることができます。

定積分はx軸より上側にある部分か下側にある部分かで正負が変わりますが、なぜx軸との位置関係に関係なくこの式で面積を求めることができるのでしょうか？

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定積分の1/6公式

　定積分には

\[\Large \int_\alpha^\beta{(x-\alpha)(x-\beta)dx}=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3\]

で表される1/6公式というものがあります。

なぜ、これが成り立つのでしょうか？2通りの方法で確かめてみます。

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