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(1)
$\text{(i)}$
$A$は誰に対しても$\dfrac{2}{3}$の確率で勝てるので、$A$が2勝0敗で優勝する確率は
\[\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\]
となります。
$\text{(ii)}$
対戦には引き分けがないので、必ず勝者がいます。
したがって、対戦結果の勝ちに着目すれば、リーグ戦全体での対戦数とその結果を知ることができます。
またこのことから、ある1つの対戦結果となる確率は、各選手が勝利した対戦に着目してそれらの勝者側の勝つ確率をすべて掛け合わせることで求めることができます。
表2の対戦結果となる確率
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| A | ○ | × | |
| B | × | ○ | |
| C | ○ | × |
したがって、この対戦結果となる確率は$A$が$B$に勝つ確率と$B$が$C$に勝つ確率と$C$が$A$に勝つ確率の積であり、$A$’に’勝つ確率は$A$’が’勝つ確率の余事象の確率で$\dfrac{1}{3}$であることに注意すると
\[\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\large\mathbf{\frac{1}{9}}\]
となります。
表2の対戦結果となって$A$が優勝する確率
表2の対戦結果では$A, B,
C$全員の勝ち数が1であるので、優勝者は3人の中から1人が抽選で選ばれます。
抽選で3人の中から$A$が選ばれる確率は$\dfrac{1}{3}$なので、表2の対戦結果となって、かつ$A$が優勝する確率は
\[\frac{1}{9}\times\large\mathbf{\frac{1}{3}}\tag{a}\]
で求めることになります。
$A$が1勝1敗で優勝する確率
| とい | A | B | C |
|---|---|---|---|
| A | ○ | × | |
| B | × | ○ | |
| C | ○ | × |
もう1つの対戦結果においても、その対戦結果になって$A$が優勝する確率も$\text{(a)}$で求められるので、$A$が1勝1敗して優勝する確率は$\text{(a)}$の2倍、すなわち
\[\frac{1}{9}\times\frac{1}{3}\times2=\large\mathbf{\frac{2}{27}}\tag{b}\]
となります。
$\text{(i)},\text{(ii)}$より3人リーグ戦で$A$が優勝する確率は
\[\frac{4}{9}+\frac{2}{27}=\frac{14}{27}\tag{*}\]
です。
(2)
$\text{(i)}$
$D$が全敗する確率
$D$が全敗するとは、$A, B, C$が$D$に勝つということです。
したがって、$D$が全敗する確率は
\[\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\large\mathbf{\frac{1}{6}}\tag{c}\]
となります。
全敗する人がいて$A$が2勝1敗で優勝する確率
まず、$D$が全敗して、かつ$A$が2勝1敗で優勝する確率を考えます。
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| A | ○ | × | ○ | |
| B | × | ○ | ○ | |
| C | ○ | × | ○ | |
| D | × | × | × |
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| A | ○ | × | ○ | |
| B | × | ○ | ○ | |
| C | ○ | × | ○ | |
| D | × | × | × |
すると、$A, B, C$の3人で対戦している部分は(1)の$\text{(ii)}$と同じ$A, B, C$が全員1勝1敗する対戦結果となり、$D$が他の3人と対戦している部分は$D$が全敗している部分です。
また、$A, B,
C$全員が勝ち数2となるので、優勝者はこの中から抽選で選ばれることになり、$A$が選ばれる確率は$\dfrac{1}{3}$です。
したがって、$D$が全敗して、かつ$A$が2勝1敗して優勝する確率は、$D$が全敗する確率と$A, B, C$が全員1勝1敗する確率と3人から$A$が抽選で選ばれる確率の積となります。
$A, B,
C$が全員1勝1敗する確率と3人から$A$が抽選で選ばれる確率の積は、(1)の$\text{(ii)}$の$A$が1勝1敗して優勝する確率となることから、$D$が全敗して、かつ$A$が2勝1敗して優勝する確率は、$\text{(b)},
\text{(c)}$より
\[\frac{1}{6}\times\frac{2}{27}=\frac{1}{81}\tag{d}\]
となります。
そして、全敗する人がいて、$A$が2勝1敗で優勝する確率は、全敗する人の組と全敗する人以外の3人組への組み分け方が3通りあることから$\text{(d)}$の3倍、すなわち
\[\frac{1}{81}\times3=\large\mathbf{\frac{1}{27}}\tag{e}\]
となります。
$\text{(ii)}$
全敗する人がおらず、かつ$A$が$B$にだけ負けて2勝1敗する対戦結果
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| A | × | ○ | ○ | |
| B | ○ | ○ | × | |
| C | × | × | ○ | |
| D | × | ○ | × |
これは$B$が2勝1敗する場合の例の1つです。
他の例は の部分の○×を入れ替えたものとなります。（このとき、全敗する人がいないという条件のために の部分の○×も同時に入れ替わります。）
したがって、全敗する人がおらず、かつ$A$が$B$にだけ負けて2勝1敗して優勝する可能性のある対戦結果のうち、$B$が2勝1敗する場合は全部で2通りあります。
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| A | × | ○ | ○ | |
| B | ○ | × | × | |
| C | × | ○ | ○ | |
| D | × | ○ | × |
この場合の対戦結果の他の例は の部分の○×を入れ替えたものです。
したがって、全敗する人がおらず、かつ$A$が$B$にだけ負けて2勝1敗して優勝する可能性のある対戦結果のうち、$B$が1勝2敗する場合は全部で2通りあります。
以上より、全敗する人がおらず、かつ$A$が$B$にだけ負けて2勝1敗して優勝する可能性のある対戦結果は全部で4通りあることがわかります。
全敗する人がおらず、かつ$A$が2勝1敗で優勝する確率
まず、全敗する人がおらず、かつ$A$が$B$にだけ負けて2勝1敗して優勝する確率を求めます。
全敗する人がおらず、かつ$A$が$B$にだけ負けて2勝1敗して優勝する可能性のある対戦結果はいずれも、$A$の勝ち数が2、$A$以外の選手が$A$に勝ったことによる勝ち数が1、$A$以外の選手が他の$A$以外の選手に勝ったことによる勝ち数が3となっています。
また、$A$と同じ勝ち数2となる選手が必ず1人いるので優勝者は抽選で選ばれることになり、$A$が選ばれる確率は$\dfrac{1}{2}$です。
これらのことに着目すると、全敗する人がおらず、かつ$A$が$B$にだけ負けて2勝1敗して優勝する確率は
\[\left(\frac{2}{3}\right)^2\times\frac{1}{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^3\times\frac{1}{2}\times4=\frac{1}{27}\tag{f}\]
となります。
次に、全敗する人がおらず、かつ$A$が2勝1敗して優勝する確率を求めます。
これは、$A$が負ける相手が3通りあることから、$\text{(f)}$の3倍、すなわち
これは、$A$が負ける相手が3通りあることから、$\text{(f)}$の3倍、すなわち
\[\frac{1}{27}\times3=\large\mathbf{\frac{1}{9}}\tag{g}\]
となることがわかります。
4人リーグ戦で$A$が優勝する確率
$A$が3勝0敗で優勝する確率は、$A$が$B, C, D$全員に勝つ確率なので
\[\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}\]
となります。
したがって、4人リーグ戦で$A$が優勝する確率は、上記と$\text{(e)},
\text{(g)}$より
\begin{align*}\frac{8}{27}+\frac{1}{27}+\frac{1}{9}&=\frac{8}{27}+\frac{1}{27}+\frac{3}{27}\\[0.5em]&=\frac{12}{27}\\[0.5em]&=\large\mathbf{\frac{4}{9}}\tag{**}\end{align*}
となります。
3人リーグ戦で$A$が優勝する確率との比較
3人リーグ戦で$A$が優勝する確率と4人リーグ戦で$A$が優勝する確率で差をとってみます。
$\text{(*)}, \text{(**)}$より
\begin{align*}\frac{14}{27}-\frac{4}{9}&=\frac{14}{27}-\frac{12}{27}\\[0.5em]&=\large\mathbf{\frac{2}{27}}\normalsize>0\end{align*}
差は上のようになり、正の値となったので4人リーグ戦で$A$が優勝する確率は3人リーグ戦の場合より小さいことがわかります。
