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(2)
$\text{(i)}$
$x$の値の範囲の端以外で最大値または最小値をとるのは2次関数の頂点の特徴です。
したがって、条件1を満たす2次関数$y=f(x)$の頂点の座標は$\large\mathbf{(-1,
3)}$となります。
2次関数$y=f(x)$の頂点の座標がわかったので、$y=f(x)$を標準形で表すと
2次関数$y=f(x)$の頂点の座標がわかったので、$y=f(x)$を標準形で表すと
\[y=p(x+1)^2+3\qquad(p:定数, p\neq0)\]
となります。
最小値より、これのグラフは$(-3, -5)$を通ることから
\begin{align*}-5&=p\cdot(-3+1)^2+3\\[0.5em]&=4p+3\\[0.5em]4p&=-8\\[0.5em]p&=-2\end{align*}
を得ます。
したがって、
\begin{gather*}f(x)=-2(x+1)^2+3\\[0.5em]\large\mathbf{f(x)=-2x^2-4x+1}\end{gather*}
であることがわかります。
$\text{(ii)}$
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$a$が増加して$0<a<3$から$a=3$になるとき、$x$の値の範囲$0≦x≦a$に新たに含まれるのは$x=3$です。
$a=3$は$a≧3$に含まれることから、このとき$y=g(x)$の最小値は$-2$より大きいから$-2$ちょうどに変化するので、$y=g(x)$は$x=3$で$y=-2$をとることがわかります。
また、$a≧3$のとき最小値が$-2$から変わらないというのは頂点の特徴であり、上記より頂点の座標は$(3,
-2)$で、$y=g(x)$を標準形で表すと
頂点で最小値をとるということは、2次関数$y=g(x)$のグラフは下に凸の放物線です。
\[y=q(x-3)^2-2\qquad(q:定数, q\neq0)\tag{a}\]
となります。頂点で最小値をとるということは、2次関数$y=g(x)$のグラフは下に凸の放物線です。
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$0<a≦6$のとき、$x$の値の範囲$0≦x≦a$に必ず含まれるのは$x=0$だけです。
ゆえに、このとき最大値$7$をとるのは$x=0$のときであることがわかります。
また、$a$が増加して$a=6$から$a>6$になるとき、$x$の値の範囲$0≦x≦a$に$6$より大きい値が含まれるようになります。
このとき$y=g(x)$の最大値は$7$から$7$より大きいに変化します。
これは、$x>6$で$y$は$7$より大きい値をとるようになるということであり、$y=g(x)$は$x=6$で$y=7$をとるということでもあります。
このとき$y=g(x)$の最大値は$7$から$7$より大きいに変化します。
これは、$x>6$で$y$は$7$より大きい値をとるようになるということであり、$y=g(x)$は$x=6$で$y=7$をとるということでもあります。
上記より、$y=g(x)$のグラフは$(0, 7)$と$(6,
7)$を通るので、$x=0$と$y=7$または$x=6$と$y=7$を$\text{(a)}$に代入すると
\begin{align*}x=0, y=7&を代入\\
7&=q(0-3)^2-2\\[0.5em]&=9q-2\\[0.5em]9q&=9\\[0.5em]q&=1\end{align*}
を得ます。
したがって、
\begin{gather*}g(x)=(x-3)^2-2\\[0.5em]\large\mathbf{g(x)=x^2-6x+7}\end{gather*}
であることがわかります。
ちなみに、$y=g(x)$は$(0, 7)$または$(6,
7)$を通ることから、因数分解形の平行移動という形で
最小値より、$y=g(x)$は$(3, -2)$を通ることから
\[y=q x(x-6)+7\qquad(q:定数, q\neq0)\]
とすることもできます。最小値より、$y=g(x)$は$(3, -2)$を通ることから
\begin{align*}-2&=q\cdot3\cdot(-3)+7\\[0.5em]&=-9q+7\\[0.5em]q&=1\end{align*}
を得、同様に
\[g(x)=x^2-6x+7\]
であることがわかります。
(3)
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$b=1$は$1≦b≦7$に含まれることから、上記の$b$の変化にともなって$y=h(x)$の最大値は負から$0$以上に変化するので、$y=h(x)$は$x=2$で$y=0$をとることがわかります。
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$b=7$も$1≦b≦7$に含まれることから、上記の$b$の変化にともなって$y=h(x)$の最大値は$0$以上から負に変化するので、$y=h(x)$は$x=6$で$y=0$をとることがわかります。
これらのことから、$y=h(x)$のグラフは2点$(2, 0), (6,
0)$を通るので、$y=h(x)$のグラフとx軸の共有点のx座標は$\large\mathbf{2,
6}$であることがわかります。
ちなみに、$y=h(x)$のグラフは2点$(2, 0), (6,
0)$を通ることから、因数分解形で
\[y=r(x-2)(x-6)\qquad(r:定数, r\neq0)\]
と表すことができ、条件3のみでは$r$が定まりません。
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最大値が負ということは$b-1≦x≦b+1$内のすべての$x$における2次関数$y=h(x)$の値が負ということで、
- $b<1$の範囲で$b$が変化するときの$b-1≦x≦b+1$の動く範囲は$x<2$
- $7<b$の範囲で$b$が変化するときの$b-1≦x≦b+1$の動く範囲は$6<x$
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