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\[\large \vec{a}=a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}\]
と表すことができます。
なぜこのように表すことができるのでしょうか？
x軸の正の方向の単位ベクトル$\vec{e_x}$とy軸の正の方向の単位ベクトル$\vec{e_y}$の成分を求め、それぞれの実数倍の和から$\vec{a}$ができることを確かめます。
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ゆえに、$\vec{e_x}$の成分は$(1, 0)$であることがわかります。
同様に、原点からy軸の正の方向に距離$1$だけ離れた点の座標は$(0,
1)$なので、$\vec{e_y}$の成分は$(0, 1)$であることがわかります。
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$\vec{e_x}$を実数$p$倍した$p\vec{e_x}$は、
- $p>0$のとき、$\vec{e_x}$と同じ向きで大きさ$|p|$の幾何ベクトル
- $p=0$のとき、零ベクトル
- $p<0$のとき、$\vec{e_x}$と逆向きで大きさ$|p|$の幾何ベクトル
同様に、$\vec{e_y}$を実数$q$倍した$q\vec{e_y}$も、$q$によって零ベクトルまたは$\vec{e_y}$と平行な任意の幾何ベクトルを表します。
また、$p\vec{e_x}, q\vec{e_y}$それぞれの成分は
\begin{align*}p\vec{e_x}&=p(1, 0)\\[0.5em]&=(p,
0)\\[1em]q\vec{e_y}&=q(0, 1)\\[0.5em]&=(0, q)\end{align*}
となります。
\begin{align*}p\vec{e_x}+q\vec{e_y}&=(p, 0)+(0, q)\\[0.5em]&=(p,
q)\end{align*}
となります。
したがって、$p=a_x, q=a_y$のとき、
\begin{align*}a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}&=(a_x,
a_y)\\[0.5em]&=\vec{a}\end{align*}
となり、成分が等しい幾何ベクトルは等しいので
\[\vec{a}=a_x\vec{e_x}+a_y\vec{e_y}\]
と表せることがわかります。
空間ベクトル$\vec{b}=(b_x, b_y,
b_z)$についても同様に考えて、x軸の正の方向の単位ベクトル$\vec{e_x}$、y軸の正の方向の単位ベクトル$\vec{e_y}$、z軸の正の方向の単位ベクトル$\vec{e_z}$をもちいて
\[\vec{b}=b_x\vec{e_x}+b_y\vec{e_y}+b_z\vec{e_z}\]
と表すことができます。
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