「幾何ベクトルの計算法則」で示した各計算法則をベクトル成分表示すると、次のようになります。
幾何ベクトルの加法の交換法則
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y)$について
\[\large (a_x, a_y)+(b_x, b_y)=(b_x, b_y)+(a_x, a_y)\]
幾何ベクトルの加法の結合法則
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y),$ $\vec{c}=(c_x,
c_y)$について
\[\large \bigl\{(a_x, a_y)+(b_x, b_y)\bigr\}+(c_x, c_y)=(a_x,
a_y)+\bigl\{(b_x, b_y)+(c_x, c_y)\bigr\}\]
幾何ベクトルの実数倍の結合法則
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y)$と実数$p, q$について
\[\large p\bigl\{q(a_x, a_y)\bigr\}=(pq)(a_x, a_y)\]
幾何ベクトルの実数倍の分配法則
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y)$と実数$p, q$について
\[\large (p+q)(a_x, a_y)=p(a_x, a_y)+q(a_x, a_y)\]
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y)$と実数$p$について
\[\large p\bigl\{(a_x, a_y)+(b_x, b_y)\bigr\}=p(a_x, a_y)+p(b_x,
b_y)\]
これらが成り立つことを、幾何ベクトルの成分の基本性質をもちいて改めて確かめてみます。
幾何ベクトルの加法の交換法則
幾何ベクトル$\vec{a}, \vec{b}$について、加法の交換法則
\[\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\]
が成り立ちます。
$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y)$とすると、
幾何ベクトルの和の成分より、左辺は
幾何ベクトルの和の成分より、左辺は
\begin{align*}\vec{a}+\vec{b}&=(a_x, a_y)+(b_x,
b_y)\\[0.5em]&=(a_x +b_x, a_y +b_y)\end{align*}
同様に、右辺は
\[\vec{b}+\vec{a}=(b_x +a_x, b_y +a_y)\]
となります。
ところで、実数の加法の交換法則より
\begin{align*}a_x +b_x&=b_x +a_x\\[1em]a_y +b_y&=b_y
+a_y\end{align*}
が成り立ちます。
したがって、
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y)$について
が成り立つことがわかります。
\[\large (a_x, a_y)+(b_x, b_y)=(b_x, b_y)+(a_x, a_y)\]
幾何ベクトルの加法の結合法則
幾何ベクトル$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$について、加法の結合法則
\[(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\]
が成り立ちます。
$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y),$ $\vec{c}=(c_x, c_y)$とすると、
幾何ベクトルの和の成分より、左辺は
幾何ベクトルの和の成分より、左辺は
\begin{align*}(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}&=\bigl\{(a_x, a_y)+(b_x,
b_y)\bigr\}+(c_x, c_y)\\[0.5em]&=(a_x +b_x, a_y +b_y)+(c_x,
c_y)\\[0.5em]&=\bigl((a_x +b_x)+c_x, (a_y
+b_y)+c_y\bigr)\end{align*}
同様に、右辺は
\begin{align*}\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})&=(a_x, a_y)+\bigl\{(b_x,
b_y)+(c_x, c_y)\bigr\}\\[0.5em]&=(a_x, a_y)+(b_x +c_x, b_y
+c_y)\\[0.5em]&=\bigl(a_x +(b_x +c_x), a_y +(b_y
+c_y)\bigr)\end{align*}
となります。
ところで、実数の加法の結合法則より
\begin{align*} (a_x +b_x)+c_x&=a_x +(b_x +c_x)\\[1em](a_y
+b_y)+c_y&=a_y +(b_y +c_y)\end{align*}
が成り立ちます。
したがって、
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y),$ $\vec{c}=(c_x,
c_y)$について
が成り立つことがわかります。
\[\large \bigl\{(a_x, a_y)+(b_x, b_y)\bigr\}+(c_x, c_y)=(a_x,
a_y)+\bigl\{(b_x, b_y)+(c_x, c_y)\bigr\}\]
幾何ベクトルの実数倍の結合法則
幾何ベクトル$\vec{a}$と実数$p, q$について、実数倍の結合法則
\[p(q\vec{a})=(pq)\vec{a}\]
が成り立ちます。
$\vec{a}=(a_x, a_y)$とすると、
幾何ベクトルの実数倍の成分より、左辺は
幾何ベクトルの実数倍の成分より、左辺は
\begin{align*}p(q\vec{a})&=p\bigl\{q(a_x,
a_y)\bigr\}\\[0.5em]&=p(q a_x, q a_y)\\[0.5em]&=\bigl(p(q a_x),
p(q a_y)\bigr)\end{align*}
同様に、右辺は
\begin{align*}(pq)\vec{a}&=(pq)(a_x,
a_y)\\[0.5em]&=\bigl((pq)a_x, (pq)a_y\bigr)\end{align*}
となります。
ところで、実数の乗法の結合法則より
\begin{align*}p(q a_x)&=(pq)a_x\\[1em]p(q
a_y)&=(pq)a_y\end{align*}
が成り立ちます。
したがって、
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y)$と実数$p, q$について
が成り立つことがわかります。
\[\large p\bigl\{q(a_x, a_y)\bigr\}=(pq)(a_x, a_y)\]
幾何ベクトルの実数倍の分配法則
$(p+q)(a_x, a_y)=p(a_x, a_y)+q(a_x, a_y)$
幾何ベクトル$\vec{a}$と実数$p, q$について、実数倍の分配法則
\[(p+q)\vec{a}=p\vec{a}+q\vec{a}\]
が成り立ちます。
$\vec{a}=(a_x, a_y)$とすると、
幾何ベクトルの実数倍の成分より、左辺は
幾何ベクトルの実数倍の成分より、左辺は
\begin{align*}(p+q)\vec{a}&=(p+q)(a_x,
a_y)\\[0.5em]&=\bigl((p+q)a_x, (p+q)a_y\bigr)\end{align*}
同様に、右辺は
\begin{align*}p\vec{a}+q\vec{a}&=p(a_x, a_y)+q(a_x,
a_y)\\[0.5em]&=(p a_x, p a_y)+(q a_x, q a_y)\end{align*}
そして、幾何ベクトルの和の成分より
\[p\vec{a}+q\vec{a}=(p a_x +q a_x, p a_y +q a_y)\]
となります。
ところで、実数の乗法の分配法則より
\begin{align*} (p+q)a_x&=p a_x +q a_x\\[1em](p+q)a_y&=p a_y +q
a_y\end{align*}
が成り立ちます。
したがって、
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y)$と実数$p, q$について
が成り立つことがわかります。
\[\large (p+q)(a_x, a_y)=p(a_x, a_y)+q(a_x, a_y)\]
$p\bigl\{(a_x, a_y)+(b_x, b_y)\bigr\}=p(a_x, a_y)+p(b_x, b_y)$
幾何ベクトル$\vec{a}, \vec{b}$と実数$p$について、実数倍の分配法則
\[p(\vec{a}+\vec{b})=p\vec{a}+p\vec{b}\]
が成り立ちます。
$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x, b_y)$とすると、
幾何ベクトルの和の成分より、左辺は
一方、幾何ベクトルの実数倍の成分より、右辺は
幾何ベクトルの和の成分より、左辺は
\begin{align*}p(\vec{a}+\vec{b})&=p\bigl\{(a_x, a_y)+(b_x,
b_y)\bigr\}\\[0.5em]&=p(a_x +b_x, a_y +b_y)\end{align*}
そして、幾何ベクトルの実数倍の成分より
\[p(\vec{a}+\vec{b})=\bigl(p(a_x +b_x), p(a_y +b_y)\bigr)\]
となります。一方、幾何ベクトルの実数倍の成分より、右辺は
\begin{align*}p\vec{a}+p\vec{b}&=p(a_x, a_y)+p(b_x,
b_y)\\[0.5em]&=(p a_x, p a_y)+(p b_x, p b_y)\end{align*}
そして、幾何ベクトルの和の成分より
\[p\vec{a}+p\vec{b}=(p a_x +p b_x, p a_y +p b_y)\]
となります。
ところで、実数の乗法の分配法則より
\begin{align*}p(a_x +b_x)&=p a_x +p b_x\\[1em]p(a_y +b_y)&=p
a_y +p b_y\end{align*}
が成り立ちます。
したがって、
幾何ベクトル$\vec{a}=(a_x, a_y),$ $\vec{b}=(b_x,
b_y)$と実数$p$について
が成り立つことがわかります。
\[\large p\bigl\{(a_x, a_y)+(b_x, b_y)\bigr\}=p(a_x, a_y)+p(b_x,
b_y)\]
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